作者Lanjaja ()
看板Math
標題[中學] 請問一個與三角函數有關的方程式
時間Sun Aug 23 00:44:10 2026
各位先進好，
我想請教一個跟三角函數有關的方程式問題。
已知k > 0，若對於所有的實數θ，sin(θ)/θ=sin(kθ)/(kθ)均成立。
求k為何。
用觀察的方式可以看出k=1，但我不喜歡這種用猜的方式，也無法排除其他解。
我想知道如何系統性的證明k的所有解。
懇請強者提供不用到微積分的方法證明k只會等於1。
能夠只用到高中程度的數學更好。
感謝回答～
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1F：推 wallowes : 我幫你問AI了 08/23 02:58
2F：→ wallowes : sin pi=0 08/23 02:59
3F：→ wallowes : 我們令ktheta=pi => theta=pi/k 08/23 02:59
4F：→ wallowes : 左式變成 sin (pi/k)/(pi/k) 08/23 03:00
5F：→ wallowes : 右式因為已經令k theta=pi了 所以 sin pi/pi = 0 08/23 03:01
6F：→ wallowes : 而左式的 k>0 你代k=1以外的值都沒辦法令 08/23 03:02
7F：→ wallowes : 左式 sin (pi/k)/(pi/k)=0 就得證了 08/23 03:03
8F：推 wallowes : 如果是0<k<1之間的k值 08/23 05:59
9F：→ wallowes : 要令theta=pi來求反證 08/23 05:59
10F：→ wallowes : 左式 sin pi/pi=0 08/23 09:17
11F：→ wallowes : 右式 sin (kpi)/(kpi) 08/23 09:17
12F：→ wallowes : 0<k<1 之間沒有符合的k 08/23 09:19
13F：→ wallowes : 結合以上兩個結論：k>0，除了1都不會必定成立 08/23 11:40
14F：→ Lanjaja : 謝謝w大，看懂了 08/24 01:19