作者Lanjaja ()
看板Math
标题[中学] 请问一个与三角函数有关的方程式
时间Sun Aug 23 00:44:10 2026
各位先进好，
我想请教一个跟三角函数有关的方程式问题。
已知k > 0，若对於所有的实数θ，sin(θ)/θ=sin(kθ)/(kθ)均成立。
求k为何。
用观察的方式可以看出k=1，但我不喜欢这种用猜的方式，也无法排除其他解。
我想知道如何系统性的证明k的所有解。
恳请强者提供不用到微积分的方法证明k只会等於1。
能够只用到高中程度的数学更好。
感谢回答～
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1F：推 wallowes : 我帮你问AI了 08/23 02:58
2F：→ wallowes : sin pi=0 08/23 02:59
3F：→ wallowes : 我们令ktheta=pi => theta=pi/k 08/23 02:59
4F：→ wallowes : 左式变成 sin (pi/k)/(pi/k) 08/23 03:00
5F：→ wallowes : 右式因为已经令k theta=pi了 所以 sin pi/pi = 0 08/23 03:01
6F：→ wallowes : 而左式的 k>0 你代k=1以外的值都没办法令 08/23 03:02
7F：→ wallowes : 左式 sin (pi/k)/(pi/k)=0 就得证了 08/23 03:03
8F：推 wallowes : 如果是0<k<1之间的k值 08/23 05:59
9F：→ wallowes : 要令theta=pi来求反证 08/23 05:59
10F：→ wallowes : 左式 sin pi/pi=0 08/23 09:17
11F：→ wallowes : 右式 sin (kpi)/(kpi) 08/23 09:17
12F：→ wallowes : 0<k<1 之间没有符合的k 08/23 09:19
13F：→ wallowes : 结合以上两个结论：k>0，除了1都不会必定成立 08/23 11:40
14F：→ Lanjaja : 谢谢w大，看懂了 08/24 01:19