作者R2003 (費邊)
看板Math
標題[分析] 可微性在不同運算空間之間保存?
時間Fri Mar 6 14:14:40 2026
RT
近日剛接觸複變
當然會碰到 complex function f 於z_0可微的定義
即以下極限
f(z_0+h)-f(z_0)
lim --------------- 存在, z_0屬於 C
h->0 h
又Apostol有一定理提到
n變數函數可微的充分條件是
某個偏導存在，且另外的n-1個偏導存在並連續
我就想那是不是後者也能推至前者
(因為單就集合本身而言，C可以視為跟 R x R 同構)
但在跟助教確認過有反例後(原因是運算規則不同):
f(z) = |z|^2
在C中，f不可微
用R^2形式寫即為 (x^2+y^2)+0*i
對x偏導存在(2x)，對y、0偏導存在且連續(2y、0)
所以R^2下，依Apostol的那個定理，f(z)可微
於是就好奇，R^2跟C的可微性不能保存是因為運算規則不同
那一般下，兩個不同運算的空間之間，
是否有滿足一些條件即可保證可微性的存在，即:
M and S are two different spaces with different operations,
f: X -> X is differentiable on X, X in M
phi: M -> S
phi(f): Y -> Y, Y in S
What are some conditions, if exists, for phi to satisfy
such that differentiability of f on X is preserve on Y after mapping,
that is, making phi(f): Y -> Y differentiable on Y?
希望大大們能給我一些答案
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.14.24.214 (臺灣)
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※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 14:16:23
1F：推 wrvuxci : Cauchy-Riemann equation是你要的嗎 03/06 17:16
好像一半是(我一邊回應一邊再釐清自己的問題)，
Cauchy-Riemann 理解到現在是
一複變函數，若取其實部、虛部至R^2上處理後，皆可微並連續
則，R^2上滿足此方程 iff 該函數在C上可微
但我想問的是在更一般情況下，任意兩個不同運算規則的空間中
若存在一個兩空間的映射，
那是不是存在一些條件，滿足後，
可以使被映射的物件(即function)在原空間的可微性
經過映射後，在另一個空間中的運算規則下也一定可微?
**也就是想知道數學上有沒有這樣的條件，先問有沒有，有的話再問是啥
要是沒有，那cauchy-riemann是特例嗎?
因為太多空間跟R的運算規則不同了，怎麼就只有C跟R^2之間有這樣關聯
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 19:04:47
2F：→ wrvuxci : R^2可微+Cauchy Riemann可推出C的可微 03/06 19:01
3F：→ wrvuxci : 那可能要比較深的題材了，大學數學系範圍有講"可微" 03/06 19:10
4F：→ wrvuxci : 概念的基本上就R^n跟C，你要有四則運算才能定義可微 03/06 19:12
5F：→ wrvuxci : 基本上啦，再抽象化就是可能分析領域的研究了 03/06 19:13
6F：→ wrvuxci : 說不定有一些什麼normed space 或 Sobolev space也 03/06 19:19
7F：→ wrvuxci : 可以定義類似概念，我就不是很熟了 03/06 19:20
8F：推 wrvuxci : 或者說你要不要舉例你想的「其他空間」可能是哪些 03/06 23:56
其實沒有太多想法，單純是好奇
但真要舉其他空間的話，R^n 集合但不同norm組成的空間，例如p-norm (?)
當p=2時就是euclidean norm，那一樣R^n集合但採用其他norm的空間
又或是始終沒有完全看懂證明的Arzela-Ascoli theorem中作用的函數空間
或是...那個老師在高微時隨口提的Banach Space、Hilbert Space
(我完全不知道這倆有啥作用，
只知道定義分別是complete normed vector space 跟 complete inner product space)
9F：推 wallowes : 問了一下AI 03/07 00:25
10F：→ wallowes : 若在C可微則R^2可微 03/07 00:25
11F：→ wallowes : 但R^2可微C不一定可微 03/07 00:25
12F：→ wallowes : 因為C的證明是從任何角度逼近但R^2只從兩個方向逼近 03/07 00:26
蛤? R^2 你要從任何路徑方向逼近都可以啊，應該不是這樣吧(?)
R^2 從x=y 這條線也能逼近啊，也可以從x^2拋物線逼近啊
13F：→ wallowes : 不過AI有說C可微iffR^2可微 03/07 00:31
14F：→ wallowes : 但他說R^n(n>=3)之後，因為沒辦法保持角度 03/07 00:31
15F：→ wallowes : 只有在 2 維空間，向量的旋轉剛好可以用代數乘法完 03/07 00:32
16F：→ wallowes : 達，這才讓 Cauchy-Riemann 方程式成為可能。 03/07 00:33
17F：→ wallowes : 以上是Gemini的回答 03/07 00:34
我為啥感覺Gemini在胡謅?
依我記憶有點遙遠的線代，旋轉似乎都能用矩陣表示，
又矩陣某種意義上是係數的表示，那這樣不能用isomorphism去反推出來嗎?
還是我記錯了(?)
18F：→ wallowes : 我怎麼覺得Gemini比Chatgpt強很多的感覺 03/07 00:34
19F：→ wallowes : Chatgpt現在一直偷看我過往對話來猜測我的喜好... 03/07 00:34
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 01:23:44
20F：→ wallowes : 中間漏字若滿足柯西黎曼方程式則C可微iffR^2可微 03/07 00:40
21F：推 wallowes : 所謂的R^2不是x是輸入y是輸出嗎? 03/07 01:27
22F：→ wallowes : 既然輸入端只能走x，所以只能從x兩端逼近來證明 03/07 01:27
23F：→ wallowes : 但z平面是同時以x,iy來表達輸入 03/07 01:28
24F：→ wallowes : 那就能從任何角度逼近 03/07 01:29
25F：→ wallowes : 應該是我搞錯了，AI糾正我了 03/07 01:34
26F：→ wallowes : 有點久沒碰複變分析了 03/07 01:35
27F：→ wallowes : 我想成了y=f(x) 03/07 01:40
28F：→ wallowes : AI是說，2維以上沒辦法有完美的乘除法 03/07 01:47
29F：→ wallowes : 所以那些導數定義在3維以上就不可行了 03/07 01:47
30F：→ wallowes : ">2維，不是2維以上" 03/07 01:48
31F：→ wallowes : AI說矩陣乘法不具備交換率，且矩陣沒有除法 03/07 01:55
32F：→ wallowes : 那導數連定義都沒辦法算 03/07 01:56
矩陣本身就是operator了，就像回到2x2矩陣代表2維送到2維的轉換
其實Cauchy-Riemann就是2x2 Jacobian的每個element 的一種特殊要求
而這剛好和某類旋轉矩陣一樣
我上面回應的疑問就是有沒有可能
透過isomorphism找出旋轉後去反推回jacobian?
33F：→ wallowes : 修正"是向量沒有除法" 03/07 01:56
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 02:11:34
34F：→ mantour : 如果兩個空間可微性存在一個類似Cauchy-Riemann eq 03/07 16:50
35F：→ mantour : uation的關係式，那這個關係式是不是應該不只跟兩 03/07 16:50
36F：→ mantour : 空間的映射關係有關，還跟兩空間上各自導數的定義 03/07 16:50
37F：→ mantour : 有關？ 03/07 16:50