作者R2003 (费边)
看板Math
标题[分析] 可微性在不同运算空间之间保存?
时间Fri Mar 6 14:14:40 2026
RT
近日刚接触复变
当然会碰到 complex function f 於z_0可微的定义
即以下极限
f(z_0+h)-f(z_0)
lim --------------- 存在, z_0属於 C
h->0 h
又Apostol有一定理提到
n变数函数可微的充分条件是
某个偏导存在，且另外的n-1个偏导存在并连续
我就想那是不是後者也能推至前者
(因为单就集合本身而言，C可以视为跟 R x R 同构)
但在跟助教确认过有反例後(原因是运算规则不同):
f(z) = |z|^2
在C中，f不可微
用R^2形式写即为 (x^2+y^2)+0*i
对x偏导存在(2x)，对y、0偏导存在且连续(2y、0)
所以R^2下，依Apostol的那个定理，f(z)可微
於是就好奇，R^2跟C的可微性不能保存是因为运算规则不同
那一般下，两个不同运算的空间之间，
是否有满足一些条件即可保证可微性的存在，即:
M and S are two different spaces with different operations,
f: X -> X is differentiable on X, X in M
phi: M -> S
phi(f): Y -> Y, Y in S
What are some conditions, if exists, for phi to satisfy
such that differentiability of f on X is preserve on Y after mapping,
that is, making phi(f): Y -> Y differentiable on Y?
希望大大们能给我一些答案
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.14.24.214 (台湾)
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※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/06/2026 14:16:23
1F：推 wrvuxci : Cauchy-Riemann equation是你要的吗 03/06 17:16
好像一半是(我一边回应一边再厘清自己的问题)，
Cauchy-Riemann 理解到现在是
一复变函数，若取其实部、虚部至R^2上处理後，皆可微并连续
则，R^2上满足此方程 iff 该函数在C上可微
但我想问的是在更一般情况下，任意两个不同运算规则的空间中
若存在一个两空间的映射，
那是不是存在一些条件，满足後，
可以使被映射的物件(即function)在原空间的可微性
经过映射後，在另一个空间中的运算规则下也一定可微?
**也就是想知道数学上有没有这样的条件，先问有没有，有的话再问是啥
要是没有，那cauchy-riemann是特例吗?
因为太多空间跟R的运算规则不同了，怎麽就只有C跟R^2之间有这样关联
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/06/2026 19:04:47
2F：→ wrvuxci : R^2可微+Cauchy Riemann可推出C的可微 03/06 19:01
3F：→ wrvuxci : 那可能要比较深的题材了，大学数学系范围有讲"可微" 03/06 19:10
4F：→ wrvuxci : 概念的基本上就R^n跟C，你要有四则运算才能定义可微 03/06 19:12
5F：→ wrvuxci : 基本上啦，再抽象化就是可能分析领域的研究了 03/06 19:13
6F：→ wrvuxci : 说不定有一些什麽normed space 或 Sobolev space也 03/06 19:19
7F：→ wrvuxci : 可以定义类似概念，我就不是很熟了 03/06 19:20
8F：推 wrvuxci : 或者说你要不要举例你想的「其他空间」可能是哪些 03/06 23:56
其实没有太多想法，单纯是好奇
但真要举其他空间的话，R^n 集合但不同norm组成的空间，例如p-norm (?)
当p=2时就是euclidean norm，那一样R^n集合但采用其他norm的空间
又或是始终没有完全看懂证明的Arzela-Ascoli theorem中作用的函数空间
或是...那个老师在高微时随口提的Banach Space、Hilbert Space
(我完全不知道这俩有啥作用，
只知道定义分别是complete normed vector space 跟 complete inner product space)
9F：推 wallowes : 问了一下AI 03/07 00:25
10F：→ wallowes : 若在C可微则R^2可微 03/07 00:25
11F：→ wallowes : 但R^2可微C不一定可微 03/07 00:25
12F：→ wallowes : 因为C的证明是从任何角度逼近但R^2只从两个方向逼近 03/07 00:26
蛤? R^2 你要从任何路径方向逼近都可以啊，应该不是这样吧(?)
R^2 从x=y 这条线也能逼近啊，也可以从x^2抛物线逼近啊
13F：→ wallowes : 不过AI有说C可微iffR^2可微 03/07 00:31
14F：→ wallowes : 但他说R^n(n>=3)之後，因为没办法保持角度 03/07 00:31
15F：→ wallowes : 只有在 2 维空间，向量的旋转刚好可以用代数乘法完 03/07 00:32
16F：→ wallowes : 达，这才让 Cauchy-Riemann 方程式成为可能。 03/07 00:33
17F：→ wallowes : 以上是Gemini的回答 03/07 00:34
我为啥感觉Gemini在胡诌?
依我记忆有点遥远的线代，旋转似乎都能用矩阵表示，
又矩阵某种意义上是系数的表示，那这样不能用isomorphism去反推出来吗?
还是我记错了(?)
18F：→ wallowes : 我怎麽觉得Gemini比Chatgpt强很多的感觉 03/07 00:34
19F：→ wallowes : Chatgpt现在一直偷看我过往对话来猜测我的喜好... 03/07 00:34
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/07/2026 01:23:44
20F：→ wallowes : 中间漏字若满足柯西黎曼方程式则C可微iffR^2可微 03/07 00:40
21F：推 wallowes : 所谓的R^2不是x是输入y是输出吗? 03/07 01:27
22F：→ wallowes : 既然输入端只能走x，所以只能从x两端逼近来证明 03/07 01:27
23F：→ wallowes : 但z平面是同时以x,iy来表达输入 03/07 01:28
24F：→ wallowes : 那就能从任何角度逼近 03/07 01:29
25F：→ wallowes : 应该是我搞错了，AI纠正我了 03/07 01:34
26F：→ wallowes : 有点久没碰复变分析了 03/07 01:35
27F：→ wallowes : 我想成了y=f(x) 03/07 01:40
28F：→ wallowes : AI是说，2维以上没办法有完美的乘除法 03/07 01:47
29F：→ wallowes : 所以那些导数定义在3维以上就不可行了 03/07 01:47
30F：→ wallowes : ">2维，不是2维以上" 03/07 01:48
31F：→ wallowes : AI说矩阵乘法不具备交换率，且矩阵没有除法 03/07 01:55
32F：→ wallowes : 那导数连定义都没办法算 03/07 01:56
矩阵本身就是operator了，就像回到2x2矩阵代表2维送到2维的转换
其实Cauchy-Riemann就是2x2 Jacobian的每个element 的一种特殊要求
而这刚好和某类旋转矩阵一样
我上面回应的疑问就是有没有可能
透过isomorphism找出旋转後去反推回jacobian?
33F：→ wallowes : 修正"是向量没有除法" 03/07 01:56
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/07/2026 02:11:34