作者R2003 (费边)
看板Math
标题[分析] 可微性在不同运算空间之间保存?
时间Fri Mar 6 14:14:40 2026
RT
近日刚接触复变
当然会碰到 complex function f 於z_0可微的定义
即以下极限
f(z_0+h)-f(z_0)
lim --------------- 存在, z_0属於 C
h->0 h
又Apostol有一定理提到
n变数函数可微的充分条件是
某个偏导存在，且另外的n-1个偏导存在并连续
我就想那是不是後者也能推至前者
(因为单就集合本身而言，C可以视为跟 R x R 同构)
但在跟助教确认过有反例後(原因是运算规则不同):
f(z) = |z|^2
在C中，f不可微
用R^2形式写即为 (x^2+y^2)+0*i
对x偏导存在(2x)，对y、0偏导存在且连续(2y、0)
所以R^2下，依Apostol的那个定理，f(z)可微
於是就好奇，R^2跟C的可微性不能保存是因为运算规则不同
那一般下，两个不同运算的空间之间，
是否有满足一些条件即可保证可微性的存在，即:
M and S are two different spaces with different operations,
f: X -> X is differentiable on X, X in M
phi: M -> S
phi(f): Y -> Y, Y in S
What are some conditions, if exists, for phi to satisfy
such that differentiability of f on X is preserve on Y after mapping,
that is, making phi(f): Y -> Y differentiable on Y?
希望大大们能给我一些答案
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.14.24.214 (台湾)
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※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/06/2026 14:16:23
1F：推 wrvuxci : Cauchy-Riemann equation是你要的吗 03/06 17:16
好像一半是(我一边回应一边再厘清自己的问题)，
Cauchy-Riemann 理解到现在是
一复变函数，若取其实部、虚部至R^2上处理後，皆可微并连续
则，R^2上满足此方程 iff 该函数在C上可微
但我想问的是在更一般情况下，任意两个不同运算规则的空间中
若存在一个两空间的映射，
那是不是存在一些条件，满足後，
可以使被映射的物件(即function)在原空间的可微性
经过映射後，在另一个空间中的运算规则下也一定可微?
**也就是想知道数学上有没有这样的条件，先问有没有，有的话再问是啥
要是没有，那cauchy-riemann是特例吗?
因为太多空间跟R的运算规则不同了，怎麽就只有C跟R^2之间有这样关联
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/06/2026 19:04:47
2F：→ wrvuxci : R^2可微+Cauchy Riemann可推出C的可微 03/06 19:01
3F：→ wrvuxci : 那可能要比较深的题材了，大学数学系范围有讲"可微" 03/06 19:10
4F：→ wrvuxci : 概念的基本上就R^n跟C，你要有四则运算才能定义可微 03/06 19:12
5F：→ wrvuxci : 基本上啦，再抽象化就是可能分析领域的研究了 03/06 19:13
6F：→ wrvuxci : 说不定有一些什麽normed space 或 Sobolev space也 03/06 19:19
7F：→ wrvuxci : 可以定义类似概念，我就不是很熟了 03/06 19:20
8F：推 wrvuxci : 或者说你要不要举例你想的「其他空间」可能是哪些 03/06 23:56
其实没有太多想法，单纯是好奇
但真要举其他空间的话，R^n 集合但不同norm组成的空间，例如p-norm (?)
当p=2时就是euclidean norm，那一样R^n集合但采用其他norm的空间
又或是始终没有完全看懂证明的Arzela-Ascoli theorem中作用的函数空间
或是...那个老师在高微时随口提的Banach Space、Hilbert Space
(我完全不知道这俩有啥作用，
只知道定义分别是complete normed vector space 跟 complete inner product space)
9F：推 wallowes : 问了一下AI 03/07 00:25
10F：→ wallowes : 若在C可微则R^2可微 03/07 00:25
11F：→ wallowes : 但R^2可微C不一定可微 03/07 00:25
12F：→ wallowes : 因为C的证明是从任何角度逼近但R^2只从两个方向逼近 03/07 00:26
蛤? R^2 你要从任何路径方向逼近都可以啊，应该不是这样吧(?)
R^2 从x=y 这条线也能逼近啊，也可以从x^2抛物线逼近啊
13F：→ wallowes : 不过AI有说C可微iffR^2可微 03/07 00:31
14F：→ wallowes : 但他说R^n(n>=3)之後，因为没办法保持角度 03/07 00:31
15F：→ wallowes : 只有在 2 维空间，向量的旋转刚好可以用代数乘法完 03/07 00:32
16F：→ wallowes : 达，这才让 Cauchy-Riemann 方程式成为可能。 03/07 00:33
17F：→ wallowes : 以上是Gemini的回答 03/07 00:34
我为啥感觉Gemini在胡诌?
依我记忆有点遥远的线代，旋转似乎都能用矩阵表示，
又矩阵某种意义上是系数的表示，那这样不能用isomorphism去反推出来吗?
还是我记错了(?)
18F：→ wallowes : 我怎麽觉得Gemini比Chatgpt强很多的感觉 03/07 00:34
19F：→ wallowes : Chatgpt现在一直偷看我过往对话来猜测我的喜好... 03/07 00:34
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/07/2026 01:23:44
20F：→ wallowes : 中间漏字若满足柯西黎曼方程式则C可微iffR^2可微 03/07 00:40
21F：推 wallowes : 所谓的R^2不是x是输入y是输出吗? 03/07 01:27
22F：→ wallowes : 既然输入端只能走x，所以只能从x两端逼近来证明 03/07 01:27
23F：→ wallowes : 但z平面是同时以x,iy来表达输入 03/07 01:28
24F：→ wallowes : 那就能从任何角度逼近 03/07 01:29
25F：→ wallowes : 应该是我搞错了，AI纠正我了 03/07 01:34
26F：→ wallowes : 有点久没碰复变分析了 03/07 01:35
27F：→ wallowes : 我想成了y=f(x) 03/07 01:40
28F：→ wallowes : AI是说，2维以上没办法有完美的乘除法 03/07 01:47
29F：→ wallowes : 所以那些导数定义在3维以上就不可行了 03/07 01:47
30F：→ wallowes : ">2维，不是2维以上" 03/07 01:48
31F：→ wallowes : AI说矩阵乘法不具备交换率，且矩阵没有除法 03/07 01:55
32F：→ wallowes : 那导数连定义都没办法算 03/07 01:56
矩阵本身就是operator了，就像回到2x2矩阵代表2维送到2维的转换
其实Cauchy-Riemann就是2x2 Jacobian的每个element 的一种特殊要求
而这刚好和某类旋转矩阵一样
我上面回应的疑问就是有没有可能
透过isomorphism找出旋转後去反推回jacobian?
33F：→ wallowes : 修正"是向量没有除法" 03/07 01:56
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/07/2026 02:11:34
34F：→ mantour : 如果两个空间可微性存在一个类似Cauchy-Riemann eq 03/07 16:50
35F：→ mantour : uation的关系式，那这个关系式是不是应该不只跟两 03/07 16:50
36F：→ mantour : 空间的映射关系有关，还跟两空间上各自导数的定义 03/07 16:50
37F：→ mantour : 有关？ 03/07 16:50
似乎是这样，那这样不就要看微分是不是有一般性的定义才能再讨论?(我猜是有)
但本人道行尚不够，只知道单复变的微分、单实变微分跟多实变微分的定义
不过我总觉得这问题在更抽象的物件中一定有答案，
不然只有R^2跟C有这关系也太刚好了...
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/07/2026 20:25:46
38F：→ wrvuxci : 我倾向认为是C的结构太特别 03/07 21:41
39F：→ jack7775kimo: Looman-Menchoff Theorem? 03/08 00:30
这还没学到...但刚刚看了一下，应该不是，
看起来是比Cauchy-riemann condition更强
不要求拉到R^2处理後的偏导一定要连续，只要存在且原函数连续
那满足C-R condition即C可微
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/08/2026 14:46:29
40F：推 sunev : 如果将「复可微」视为「实可微」加上「在复数乘法下 03/10 10:32
41F：→ sunev : 线性」，那你得先讨论在「实可微」的条件上再加上 03/10 10:32
42F：→ sunev : 其它额外代数结构的可能。 03/10 10:33
不太懂，实可微不就隐含了在R^n集合上采用Euclidean norm的条件吗?
这样还要如何再加其他运算的代数结构?
不像是原始的vector space中有addition跟scalar multiplication
可以去定义任何的norm
又或是基於vector space弄出来的inner product space
况且R^n + Euclidean norm也会形成内积空间，
条件已经太强了，还可能再加新的结构上去吗?
话说我在想我的问题似乎是有点给太强的要求?
会不会M跟S两空间不能是任意，
而必须要先有一些 [不知道是甚麽的] 性质
才能来讨论若存在映射下，保存可微性的条件?
我唯一猜的是一定要T2，不然没法定义误差收敛至单点
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/11/2026 19:19:55
43F：推 Vulpix : 复结构是强度很变态的条件。 03/11 19:59
44F：推 sunev : 我的意思是实可微隐含了线性，而复可微与R^2的不同 03/11 22:07
45F：→ sunev : 在於复可微额外要求对i这个常数线性，说到底你还是 03/11 22:07
46F：→ sunev : 得先定义清楚什麽是可微。 03/11 22:08
原来如此，不过学到现在就有3种微分的定义了(R、R^n以及C)
难道微分没有一般化的定义方法吗?
总不可能每到新的空间就重新定义一次微分、可微...等，然後重头来过吧(?)
如果没有，那我这问题好像就没有解
但假设有，那我问题应该就是修正成
1) M以及S至少要具备[哪些性质]
可以在存在
2) 满足[哪些条件]的phi时
让定义在M空间X集合上的可微函数经过映射後，
於S空间Y集合上具有按照S空间运算规则定义出的可微性
想了一下，不太确定一些粗糙的想法:
针对1) M、S两空间的拓朴至少都要T2 不然连收敛至单点都不行定义
X当然是定义出来的函数要符合M空间运算的可微(所以也一定连续)
Y则是定义在上的函数至少要连续(不代表一定可微)
---> 单纯是可微imply连续 等价於 不连续imply不可微
--> 但这两项可以说明X跟Y两集合/子空间有啥性质?
函数可以定义连续，集合/子空间本身可以定义连续吗?
connected? 但这只代表不存在A和B两非空开集，交集为空且联集为全
2) 从上面接续，phi至少是把连续函数转换成连续函数
所以phi要连续?
---先想到这边好了...
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/12/2026 00:40:04
47F：推 Vulpix : 我感觉你一直纠结在拓扑结构上，但复数系之所以特 03/13 10:53
大概是因为代数课一整学期大多时间都在讲group
其他部分还需要再去翻书
而相对的，
拓朴课就是讲很快，尽可能讲，
但很多都因为"trivial"所以只讲关键的证明部分
当下不一定全懂，可後来会或多或少有些印象
48F：→ Vulpix : 别是因为环运算，其中乘法结构最特殊。而且微分的 03/13 10:53
故，我对环只知道有两个二元运算，其他好像没了
49F：→ Vulpix : 定义几乎都没什麽变。 03/13 10:53
50F：→ Vulpix : 不会因为换空间，导数的定义就发生翻天覆地的变化 03/13 10:54
原来如此，所以关键就是助教最一开始提到的因为运算规则不同
但既然不会因换空间而有不同导数定义，
那这样C跟R^2两者关系不就更不可能是特例吗? 还是我又哪里搞混了...
※ 编辑: R2003 (39.14.24.214 台湾), 03/13/2026 18:43:59
52F：→ sunev : 下面一点的Generalizations也可以看一下 03/13 19:08
53F：→ sunev : 拓扑虽然有公认的「连续」及「极限」定义，但「微分 03/13 19:10
54F：→ sunev : 」就没有，部份原因是如果你希望有积分和微积分基本 03/13 19:11
55F：→ sunev : 定理，那你大概需要complete field，然後就把实数包 03/13 19:12
56F：→ sunev : 进来了。 03/13 19:12
57F：推 wrvuxci : 代数上的环不一定有拓朴，有也不一定完备(例:有理数 03/13 23:02
58F：→ wrvuxci : 一般拓扑空间上连加减法都没有，完全不改定义的话就 03/13 23:03
59F：→ wrvuxci : 在空间上要有很好的结构，像R或C那样 03/13 23:04
60F：→ wrvuxci : 这样才能定义说导数是差商的极限 03/13 23:06
61F：→ wrvuxci : 前面提的Banach space, normed linear space其实也 03/13 23:10
62F：→ wrvuxci : 有over R跟over C的差别，假如你在某Banach space 03/13 23:12
63F：→ wrvuxci : over R上定了导数，连系到另一个Banach space over 03/13 23:12
64F：→ wrvuxci : C的时候可能Cauchy-Riemann又会再出现 03/13 23:12
65F：→ wrvuxci : 能不能定我没有那麽确定啦，详细可以查一下 03/13 23:22
66F：→ wrvuxci : functional analysis那方面的书，但微分几何跟复几 03/13 23:22
67F：→ wrvuxci : 何之间的联系确是就是会看到Cauchy-Riemann 03/13 23:23
68F：推 cuylerLin : Cauchy-Riemann Equations 也没有什麽特别的阿，如 03/14 02:17
69F：→ cuylerLin : 果导数存在若且惟若1）各个方向逼近的极限存在且2） 03/14 02:17
70F：→ cuylerLin : 前者所有极限相同。而 C-R 条件只是取实轴虚轴当特 03/14 02:17
71F：→ cuylerLin : 例而已。 03/14 02:17
72F：→ cuylerLin : 另，导数的等价定义也是可以在特定点的某个开球中对 03/14 02:22
73F：→ cuylerLin : 函数作一阶线性近似，然後高阶误差会是一个小o函数 03/14 02:22
74F：→ cuylerLin : 。 03/14 02:22
75F：→ wrvuxci : 对，所以Banach space上可能可以定义导数，就是模仿 03/14 02:50
76F：→ wrvuxci : R^n甚至C^n 03/14 02:50
77F：→ wrvuxci : 至少到目前为止除了CR好像很少听过其他实际例子，这 03/14 02:52
78F：→ wrvuxci : 样还是有点特别吧(就是说这是一个很经典的例子 03/14 02:53
79F：推 Vulpix : 复数要说特别……能求导一次就直接突破到能展开成 03/14 03:56
80F：→ Vulpix : 幂级数吧。实函数连导数是否连续都还在未定之天。 03/14 03:56
81F：→ WINDHEAD : 你把不同的值域混唯一谈了 03/17 11:25
82F：→ WINDHEAD : 复变函数是 R^2 -> R^2 , 多变数微积分是 R^n -> R 03/17 11:25
83F：→ WINDHEAD : 如果你对不同空间的复可微性质有兴趣的话 03/17 11:27
84F：→ WINDHEAD : 可以参考 pseudo-holomorphic curve 03/17 11:27
85F：推 Vulpix : 我说的是导数的定义式，这个没太多不同。所以公式 04/09 16:51
86F：→ Vulpix : 也差不多。但是内容已经不一样了。 04/09 16:51