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看板Math
標題[中學] 跟大家來分享一題數學問題
時間Sat Feb 21 19:18:38 2026
這是我高一時解過的一道很喜歡的數學問題，不知道這個時代還有沒有人看過這個問題。
你被困在一個半平面的森林中（就是有一條直線分割了世界，一邊是象徵困境的森林，一
邊是象徵平安的大平原）。
你唯一知道的事是你距離邊界的直線1公里。
試證明你只要走
(1+3^(1/2)+(pi)*7/6)
公里的長度就可以得救。
p.s. 已知 (1+3^(1/2)+(pi)*7/6) 這個數字就是最小值，但要證明就比較難了。
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1F：推 like176 : 不太確定題目意思，直覺是先隨便往一個方向走1公里 02/22 00:25
2F：→ like176 : ，沒碰到邊界的話就開始繞半徑一公里的圓周走，最壞 02/22 00:25
3F：→ like176 : 是繞滿半圈，所以上界是(1+pi)公里。 02/22 00:25
這是解題第一步，要繞滿1圈才能滿足要求，這個上界是 1 + 2 * pi
4F：推 LPH66 : 樓上的方法不能確定你繞的半圈是對的半圈吧 02/22 00:58
5F：→ LPH66 : 我應該找到題目這個 1+√3+(7/6)π的路線了, 不過 02/22 01:03
6F：→ LPH66 : 這個要證明最小值確實不容易... 02/22 01:03
7F：推 LPH66 : 咦等一下, 我好像搞錯√3的位置了 02/22 01:06
8F：→ LPH66 : 我現在好像覺得 (7/6)π 應該要乘 √3 02/22 01:08
9F：→ LPH66 : OK, 上面說的路線應該是錯的, 再想想 02/22 01:21
※ 編輯: swfswf (111.250.118.232 臺灣), 02/22/2026 08:45:39
10F：推 like176 : 對耶，最壞情況是繞滿一圈。那我得再想想了 02/22 10:39
11F：推 HeterCompute: Bellman's lost-in-a-forest problem 02/23 00:36
12F：推 Vulpix : 我看題目一直看到大安森林公園，這是幻術嗎？ 02/23 16:22
13F：推 wrvuxci : 走出去比一多一點點（有時候方向只偏一點）沒有的話 02/23 19:39
14F：→ wrvuxci : 再回去繞那個圓，就不用繞整圈 02/23 19:40
15F：→ wrvuxci : 用微積去優化多跑那一點是多少，這樣算出來數值大概 02/23 19:47
16F：→ wrvuxci : 6.49(有closed form但有點難化簡)，好像還差一點 02/23 19:48
17F：→ wrvuxci : 好像其實也不對，再想想好了 02/23 19:50
18F：→ wrvuxci : 嗯我覺得是可以，走直線距離到R=1.272走右，還沒到 02/23 19:55
19F：→ wrvuxci : 的話沿舊直線退回去到距離出發點1的位置(退回R-1)， 02/23 19:56
20F：→ wrvuxci : 接下來不用繞一圈，只要繞2π-2arccos(1/R)弧度就好 02/23 19:58
21F：→ wrvuxci : 但就是還不是最優化的解 02/23 19:58
22F：→ wrvuxci : closed form R^2=(1+√5)/2 02/23 20:23
23F：→ firejox : 如果往某方向走一公里，然後繞270度，再延著切線走 02/23 20:37
24F：→ firejox : 一公里，這樣是2+1.5pi 02/23 20:37
加油，思路正確，這是標準答案的一部份。
25F：推 LPH66 : wrvuxci 的方式如果退回去走圓這一段改走切線到圓 02/23 21:49
26F：→ LPH66 : 這樣的極值好像會出現在 R=2/√3 的地方 02/23 21:50
27F：→ LPH66 : 雖然出現了√3 但總距離變成了√3+(5/3)π 02/23 21:50
28F：→ LPH66 : (也或許我列式有錯, 不過走切線應該比退回去走好) 02/23 21:51
※ 編輯: swfswf (111.250.118.232 臺灣), 02/23/2026 22:29:43
29F：→ wrvuxci : 您可能有誤解我的意思，剛走完R公里馬上退回去，這 02/23 22:58
30F：→ wrvuxci : 時走切線會偏掉，兩個方法結合的話可以再優化一點點 02/23 22:58
31F：→ wrvuxci : 6.48XD，反正方向不對的話我就不附圖了 02/23 22:58
32F：推 LPH66 : 仔細想想你的方法好像過早結束圓弧了的樣子... 02/23 23:14
34F：→ LPH66 : AB 是你的 R, 你的路線好像是 A-B-O-C-D' 02/23 23:16
35F：→ LPH66 : 我是說不用回到 O 直接 B 直線到 C 02/23 23:16
36F：→ LPH66 : 不過這樣結束不能在 D' 而要到 D 才行 02/23 23:16
37F：→ LPH66 : O到D' 跟 C到D 都是 2π-2arccos(1/R) 02/23 23:18
38F：→ LPH66 : 所以我在想要嘛你結束在D', 要嘛你確實停在D但多減 02/23 23:19
39F：→ wrvuxci : 對到D'，沒有過早，因為AB這段距離中間都沒碰界代表 02/23 23:26
40F：→ wrvuxci : 沒走的那段圓弧不是正確方向(相對於原來A點 02/23 23:26
41F：推 LPH66 : 我覺得不是, AB都沒碰到的話邊界可以是／虛線再過去 02/23 23:28
42F：→ LPH66 : *再轉過去一點點 02/23 23:29
43F：→ wrvuxci : 我的視角不一樣，我是說假如其中一條虛線就是正確的 02/23 23:31
44F：→ wrvuxci : 邊界，例如右半邊虛線是正確的好了，走了R公里沒碰 02/23 23:32
45F：→ wrvuxci : 界代表此時落在弧OCD'之中的某一個方向上(不一定B 02/23 23:33
47F：→ LPH66 : 如果邊界是橘虛線你的路線就碰不到邊了 02/23 23:34
48F：→ LPH66 : 我所謂再轉過去一點點的邊界是這樣的意思 02/23 23:34
49F：→ wrvuxci : 我的圖是固定右邊虛線就是邊界(例如)，你只是不知道 02/23 23:35
50F：→ wrvuxci : 一開始的直線是往哪 02/23 23:36
51F：推 LPH66 : 起手方向跟邊界是相對的, 一個未知另一個同樣未知 02/23 23:36
52F：→ wrvuxci : 對，但我這個視角解釋得通，我不確定你的意思 02/23 23:37
53F：→ LPH66 : 固定邊界的視角你可以轉圖到你固定的邊界\ 02/23 23:37
54F：→ LPH66 : 那在那個出發方向走你的路會碰不到邊 02/23 23:37
55F：→ WINDHEAD : 基本想法就是第一次可以走出去比1公里還遠一點, 02/23 23:37
56F：→ WINDHEAD : 然後用切線回到圓上, 再沿著圓走半圈多一點, 02/23 23:38
57F：→ WINDHEAD : 最後再沿著切線走出去一段完成路徑. 最後這段要考慮 02/23 23:40
58F：→ wrvuxci : OK我可能混淆了某些東西，你是對的 02/23 23:42
59F：→ WINDHEAD : 的是他跟第一次走出去的線段要合力可以跟中間那段 02/23 23:42
60F：→ WINDHEAD : 圓弧上所有切線都交到. 02/23 23:42
61F：→ WINDHEAD : * 中間那段沒走過的圓弧的切線都交到 02/23 23:43
62F：→ wrvuxci : 但6.48是對的，後面到剩90度走切線這樣應該沒錯，優 02/23 23:43
63F：→ wrvuxci : 化的R是另一個值 02/23 23:43
64F：→ WINDHEAD : 答案那個最小值是對應到你第一次走出去 2/根號3 02/23 23:47
65F：→ WINDHEAD : 然後最後那段切線剛好只需要走 1 02/23 23:47
67F：→ LPH66 : A-B-C-E-F 這樣, 然後 AB=2/√3 時最小是這個極值 02/23 23:51
68F：→ LPH66 : 啊, 沒注意到我上面算的極值 √3+(7/6)π 跟正解 02/24 00:02
69F：→ LPH66 : 差了正好 π/2-1 (上面那時是算 A-B-C-E-D) 02/24 00:02
70F：→ LPH66 : ...捲太上去了忘記上面打什麼, 總之就差這一步 02/24 00:03
71F：→ LPH66 : 最後面像 WINDHEAD 講的那樣走切線就對了 02/24 00:03
72F：→ pmove : 不確定ChatGPT會不會解，因為它最後好像去Reddit 偷 02/24 11:11
73F：→ pmove : 答案，詳參： 02/24 11:11
這是正解，成功解決這個問題的人，都經歷了以下4步驟：
1. 不失一般性，朝北走1公里，然後順時鐘繞出發點一圈單位圓，這樣一定能脫困，總長
度是 1+2*pi。
2. 一個聰明的想法，如果不去走最後一段1/4圓，走3/4圓後沿切線往北走1公里，一樣能
脫困，總長度減少為 2+pi*3/2。
3. 將2的想法套用到開始的階段，就會想到先朝東北走2^(1/2)公里，再往南走1公里，再
走半圓，再往北走1公里，這樣可以再快一點，因為開始走的直線長度2^(1/2)小於1/4圓
的長度，這樣總長度是2+2^(1/2)+pi。
4. 再分析一下能不能在2的走法和3的走法之間，找更優化的走法。最佳解是先往北方偏
東30度，走3^(1/2)*2/3公里，再轉120度朝南方偏東30度，走3^(1/2)/3公里，這一段剛
好是單位圓的切線，切點在東偏北30度，也就是東偏北pi/6的位置，再繞單位圓pi*7/6，
最後往北走1公里。這就是總長度 1+3^(1/2)+pi*7/6 的路線。這條路前面2段折線是正3
角形的一部份，而且和y=1的直線有相等的夾角，最後也與單位圓相切，是成為最佳解的
關鍵。
※ 編輯: swfswf (114.24.169.111 臺灣), 02/24/2026 23:37:07