作者swfswf (scfw)
看板Math
标题[中学] 跟大家来分享一题数学问题
时间Sat Feb 21 19:18:38 2026
这是我高一时解过的一道很喜欢的数学问题，不知道这个时代还有没有人看过这个问题。
你被困在一个半平面的森林中（就是有一条直线分割了世界，一边是象徵困境的森林，一
边是象徵平安的大平原）。
你唯一知道的事是你距离边界的直线1公里。
试证明你只要走
(1+3^(1/2)+(pi)*7/6)
公里的长度就可以得救。
p.s. 已知 (1+3^(1/2)+(pi)*7/6) 这个数字就是最小值，但要证明就比较难了。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 114.43.133.99 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1771672720.A.00E.html
1F：推 like176 : 不太确定题目意思，直觉是先随便往一个方向走1公里 02/22 00:25
2F：→ like176 : ，没碰到边界的话就开始绕半径一公里的圆周走，最坏 02/22 00:25
3F：→ like176 : 是绕满半圈，所以上界是(1+pi)公里。 02/22 00:25
这是解题第一步，要绕满1圈才能满足要求，这个上界是 1 + 2 * pi
4F：推 LPH66 : 楼上的方法不能确定你绕的半圈是对的半圈吧 02/22 00:58
5F：→ LPH66 : 我应该找到题目这个 1+√3+(7/6)π的路线了, 不过 02/22 01:03
6F：→ LPH66 : 这个要证明最小值确实不容易... 02/22 01:03
7F：推 LPH66 : 咦等一下, 我好像搞错√3的位置了 02/22 01:06
8F：→ LPH66 : 我现在好像觉得 (7/6)π 应该要乘 √3 02/22 01:08
9F：→ LPH66 : OK, 上面说的路线应该是错的, 再想想 02/22 01:21
※ 编辑: swfswf (111.250.118.232 台湾), 02/22/2026 08:45:39
10F：推 like176 : 对耶，最坏情况是绕满一圈。那我得再想想了 02/22 10:39
11F：推 HeterCompute: Bellman's lost-in-a-forest problem 02/23 00:36
12F：推 Vulpix : 我看题目一直看到大安森林公园，这是幻术吗？ 02/23 16:22
13F：推 wrvuxci : 走出去比一多一点点（有时候方向只偏一点）没有的话 02/23 19:39
14F：→ wrvuxci : 再回去绕那个圆，就不用绕整圈 02/23 19:40
15F：→ wrvuxci : 用微积去优化多跑那一点是多少，这样算出来数值大概 02/23 19:47
16F：→ wrvuxci : 6.49(有closed form但有点难化简)，好像还差一点 02/23 19:48
17F：→ wrvuxci : 好像其实也不对，再想想好了 02/23 19:50
18F：→ wrvuxci : 嗯我觉得是可以，走直线距离到R=1.272走右，还没到 02/23 19:55
19F：→ wrvuxci : 的话沿旧直线退回去到距离出发点1的位置(退回R-1)， 02/23 19:56
20F：→ wrvuxci : 接下来不用绕一圈，只要绕2π-2arccos(1/R)弧度就好 02/23 19:58
21F：→ wrvuxci : 但就是还不是最优化的解 02/23 19:58
22F：→ wrvuxci : closed form R^2=(1+√5)/2 02/23 20:23
23F：→ firejox : 如果往某方向走一公里，然後绕270度，再延着切线走 02/23 20:37
24F：→ firejox : 一公里，这样是2+1.5pi 02/23 20:37
加油，思路正确，这是标准答案的一部份。
25F：推 LPH66 : wrvuxci 的方式如果退回去走圆这一段改走切线到圆 02/23 21:49
26F：→ LPH66 : 这样的极值好像会出现在 R=2/√3 的地方 02/23 21:50
27F：→ LPH66 : 虽然出现了√3 但总距离变成了√3+(5/3)π 02/23 21:50
28F：→ LPH66 : (也或许我列式有错, 不过走切线应该比退回去走好) 02/23 21:51
※ 编辑: swfswf (111.250.118.232 台湾), 02/23/2026 22:29:43
29F：→ wrvuxci : 您可能有误解我的意思，刚走完R公里马上退回去，这 02/23 22:58
30F：→ wrvuxci : 时走切线会偏掉，两个方法结合的话可以再优化一点点 02/23 22:58
31F：→ wrvuxci : 6.48XD，反正方向不对的话我就不附图了 02/23 22:58
32F：推 LPH66 : 仔细想想你的方法好像过早结束圆弧了的样子... 02/23 23:14
34F：→ LPH66 : AB 是你的 R, 你的路线好像是 A-B-O-C-D' 02/23 23:16
35F：→ LPH66 : 我是说不用回到 O 直接 B 直线到 C 02/23 23:16
36F：→ LPH66 : 不过这样结束不能在 D' 而要到 D 才行 02/23 23:16
37F：→ LPH66 : O到D' 跟 C到D 都是 2π-2arccos(1/R) 02/23 23:18
38F：→ LPH66 : 所以我在想要嘛你结束在D', 要嘛你确实停在D但多减 02/23 23:19
39F：→ wrvuxci : 对到D'，没有过早，因为AB这段距离中间都没碰界代表 02/23 23:26
40F：→ wrvuxci : 没走的那段圆弧不是正确方向(相对於原来A点 02/23 23:26
41F：推 LPH66 : 我觉得不是, AB都没碰到的话边界可以是／虚线再过去 02/23 23:28
42F：→ LPH66 : *再转过去一点点 02/23 23:29
43F：→ wrvuxci : 我的视角不一样，我是说假如其中一条虚线就是正确的 02/23 23:31
44F：→ wrvuxci : 边界，例如右半边虚线是正确的好了，走了R公里没碰 02/23 23:32
45F：→ wrvuxci : 界代表此时落在弧OCD'之中的某一个方向上(不一定B 02/23 23:33
47F：→ LPH66 : 如果边界是橘虚线你的路线就碰不到边了 02/23 23:34
48F：→ LPH66 : 我所谓再转过去一点点的边界是这样的意思 02/23 23:34
49F：→ wrvuxci : 我的图是固定右边虚线就是边界(例如)，你只是不知道 02/23 23:35
50F：→ wrvuxci : 一开始的直线是往哪 02/23 23:36
51F：推 LPH66 : 起手方向跟边界是相对的, 一个未知另一个同样未知 02/23 23:36
52F：→ wrvuxci : 对，但我这个视角解释得通，我不确定你的意思 02/23 23:37
53F：→ LPH66 : 固定边界的视角你可以转图到你固定的边界\ 02/23 23:37
54F：→ LPH66 : 那在那个出发方向走你的路会碰不到边 02/23 23:37
55F：→ WINDHEAD : 基本想法就是第一次可以走出去比1公里还远一点, 02/23 23:37
56F：→ WINDHEAD : 然後用切线回到圆上, 再沿着圆走半圈多一点, 02/23 23:38
57F：→ WINDHEAD : 最後再沿着切线走出去一段完成路径. 最後这段要考虑 02/23 23:40
58F：→ wrvuxci : OK我可能混淆了某些东西，你是对的 02/23 23:42
59F：→ WINDHEAD : 的是他跟第一次走出去的线段要合力可以跟中间那段 02/23 23:42
60F：→ WINDHEAD : 圆弧上所有切线都交到. 02/23 23:42
61F：→ WINDHEAD : * 中间那段没走过的圆弧的切线都交到 02/23 23:43
62F：→ wrvuxci : 但6.48是对的，後面到剩90度走切线这样应该没错，优 02/23 23:43
63F：→ wrvuxci : 化的R是另一个值 02/23 23:43
64F：→ WINDHEAD : 答案那个最小值是对应到你第一次走出去 2/根号3 02/23 23:47
65F：→ WINDHEAD : 然後最後那段切线刚好只需要走 1 02/23 23:47
67F：→ LPH66 : A-B-C-E-F 这样, 然後 AB=2/√3 时最小是这个极值 02/23 23:51
68F：→ LPH66 : 啊, 没注意到我上面算的极值 √3+(7/6)π 跟正解 02/24 00:02
69F：→ LPH66 : 差了正好 π/2-1 (上面那时是算 A-B-C-E-D) 02/24 00:02
70F：→ LPH66 : ...卷太上去了忘记上面打什麽, 总之就差这一步 02/24 00:03
71F：→ LPH66 : 最後面像 WINDHEAD 讲的那样走切线就对了 02/24 00:03
72F：→ pmove : 不确定ChatGPT会不会解，因为它最後好像去Reddit 偷 02/24 11:11
73F：→ pmove : 答案，详参： 02/24 11:11
这是正解，成功解决这个问题的人，都经历了以下4步骤：
1. 不失一般性，朝北走1公里，然後顺时钟绕出发点一圈单位圆，这样一定能脱困，总长
度是 1+2*pi。
2. 一个聪明的想法，如果不去走最後一段1/4圆，走3/4圆後沿切线往北走1公里，一样能
脱困，总长度减少为 2+pi*3/2。
3. 将2的想法套用到开始的阶段，就会想到先朝东北走2^(1/2)公里，再往南走1公里，再
走半圆，再往北走1公里，这样可以再快一点，因为开始走的直线长度2^(1/2)小於1/4圆
的长度，这样总长度是2+2^(1/2)+pi。
4. 再分析一下能不能在2的走法和3的走法之间，找更优化的走法。最佳解是先往北方偏
东30度，走3^(1/2)*2/3公里，再转120度朝南方偏东30度，走3^(1/2)/3公里，这一段刚
好是单位圆的切线，切点在东偏北30度，也就是东偏北pi/6的位置，再绕单位圆pi*7/6，
最後往北走1公里。这就是总长度 1+3^(1/2)+pi*7/6 的路线。这条路前面2段折线是正3
角形的一部份，而且和y=1的直线有相等的夹角，最後也与单位圆相切，是成为最佳解的
关键。
※ 编辑: swfswf (114.24.169.111 台湾), 02/24/2026 23:37:07