其實從內積值下手也不會太難，只是需要一點思維轉換而已 當內積值為 k 的時候，代表相乘的兩個向量的其中 k 個維度 是相同並且都為 1，然後其餘對應的維度的相乘要是 0。 例如 k = 1，選出的兩個向量可能長這樣 1ab 1cd 我們會知道 a*c = b*d = 0 這樣我們可以從每個維度分別考慮就好，考慮 (a,c) 的數組會相乘為 0 的可能情況只有 (0,0) (1,0) (0,1) 這 3 種，在 n 維中指定其中 k 維 為 1 的情況下，只會有 (3^(n-k) - 1) / 2 種組合會讓內積值為 k。 因此我們可以推出內積值為 k 時可能的組合數為 C(n, k)((3^(n-k) - 1) / 2) 回到題目 n = 3 的情況，內積的期望值為 [2*C(3,2)((3 - 1) / 2) + 1*C(3,1)((3^2 - 1) / 2)] / C(7,2) = [6 + 12] / 21 = 6 / 7 ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言： : 昨天我有嘗試純粹從座標處理(只看數字1和0)， : 剛剛看到有人貼AI的解法，似乎有點雷同， : 但是我的作法還是多了一些論證，不是純土法煉鋼硬列舉 : 依照正方體空間的點分布，由低到高分別為： : 第一層(100)：只有1個1的點集合，共3點 : 第二層(110)：只有2個1的點集合，共3點 : 第三層(111)：有3個1的點集合，共1點 : 高層點與低層點內積 <= 低層點1的個數 => 本題計算出的內積值 <= 2 : 每層挑2相異點作內積 < 該層點1的個數 : 由上面兩條自然限制，可以對本題內積值作進一步分類 : (1)內積值 = 2： : (111)配(110)：3種，狀況已用完 : (2)內積值 = 1： : (111)配(100)：3種 : (110)配(110)：3種 : (110)配(100)：6種 : 期望值 = [2*3 + 1(3 + 3 + 6)]/C(7,2) = 18/21 = 6/7 : 思考邏輯對了，其實剩下來就加法問題 : 高中排列組合有一大塊是教高中生怎樣有系統的分類和計數 : 有系統表示有邏輯、不容易錯， : 列舉也有分無腦列舉和有想法分類列舉。 : 就算是無腦列舉，也不是每個人真的都有辦法萬無一失全部列舉得出來 : 有些沒那麼特殊對稱的情況下還是得用上列舉， : 所以不必一味排斥。 : 像這題直接從空間幾何看可以很簡單判斷最多有哪些內積需要計算， : 我是比較偏向從空間下手。 : 另外，你一值強調P和C，對本題最終結果只差在分子分母約分2!， : 你用P增加複本，都除以2!，就會和C一樣，因為本題不允許相同向量對自己內積 : 固然用P計算好像能幫你避免掉一些前置的分類列舉， : 但你還是要扣掉一些狀況不是嗎？ : 尊重你的作法， : 不過根據題意，樣本空間C(7,2)還是一般人比較直接的想法 -- d(・ω・d) 微分！ (∫・ω・)∫ 積分！ ∂(・ω・∂) 偏微分！ (∮・ω・)∮ 沿閉曲線的積分！ (∬・ω・)∬ 重積分！ ▽(・ω・▽)梯度！ ▽・(・ω・▽・)散度！ ▽×(・ω・▽×)旋度！ Δ(・ω・Δ)拉普拉斯! --

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