其实从内积值下手也不会太难，只是需要一点思维转换而已 当内积值为 k 的时候，代表相乘的两个向量的其中 k 个维度 是相同并且都为 1，然後其余对应的维度的相乘要是 0。 例如 k = 1，选出的两个向量可能长这样 1ab 1cd 我们会知道 a*c = b*d = 0 这样我们可以从每个维度分别考虑就好，考虑 (a,c) 的数组会相乘为 0 的可能情况只有 (0,0) (1,0) (0,1) 这 3 种，在 n 维中指定其中 k 维 为 1 的情况下，只会有 (3^(n-k) - 1) / 2 种组合会让内积值为 k。 因此我们可以推出内积值为 k 时可能的组合数为 C(n, k)((3^(n-k) - 1) / 2) 回到题目 n = 3 的情况，内积的期望值为 [2*C(3,2)((3 - 1) / 2) + 1*C(3,1)((3^2 - 1) / 2)] / C(7,2) = [6 + 12] / 21 = 6 / 7 ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言： : 昨天我有尝试纯粹从座标处理(只看数字1和0)， : 刚刚看到有人贴AI的解法，似乎有点雷同， : 但是我的作法还是多了一些论证，不是纯土法炼钢硬列举 : 依照正方体空间的点分布，由低到高分别为： : 第一层(100)：只有1个1的点集合，共3点 : 第二层(110)：只有2个1的点集合，共3点 : 第三层(111)：有3个1的点集合，共1点 : 高层点与低层点内积 <= 低层点1的个数 => 本题计算出的内积值 <= 2 : 每层挑2相异点作内积 < 该层点1的个数 : 由上面两条自然限制，可以对本题内积值作进一步分类 : (1)内积值 = 2： : (111)配(110)：3种，状况已用完 : (2)内积值 = 1： : (111)配(100)：3种 : (110)配(110)：3种 : (110)配(100)：6种 : 期望值 = [2*3 + 1(3 + 3 + 6)]/C(7,2) = 18/21 = 6/7 : 思考逻辑对了，其实剩下来就加法问题 : 高中排列组合有一大块是教高中生怎样有系统的分类和计数 : 有系统表示有逻辑、不容易错， : 列举也有分无脑列举和有想法分类列举。 : 就算是无脑列举，也不是每个人真的都有办法万无一失全部列举得出来 : 有些没那麽特殊对称的情况下还是得用上列举， : 所以不必一味排斥。 : 像这题直接从空间几何看可以很简单判断最多有哪些内积需要计算， : 我是比较偏向从空间下手。 : 另外，你一值强调P和C，对本题最终结果只差在分子分母约分2!， : 你用P增加复本，都除以2!，就会和C一样，因为本题不允许相同向量对自己内积 : 固然用P计算好像能帮你避免掉一些前置的分类列举， : 但你还是要扣掉一些状况不是吗？ : 尊重你的作法， : 不过根据题意，样本空间C(7,2)还是一般人比较直接的想法 -- d(・ω・d) 微分！ (∫・ω・)∫ 积分！ ∂(・ω・∂) 偏微分！ (∮・ω・)∮ 沿闭曲线的积分！ (∬・ω・)∬ 重积分！ ▽(・ω・▽)梯度！ ▽・(・ω・▽・)散度！ ▽×(・ω・▽×)旋度！ Δ(・ω・Δ)拉普拉斯! --

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