※ 引述《AquaCute (水色銅碲)》之銘言： : ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言： : (恕刪) : : 如果我沒有誤會你的思路的話， : : 這一步邏輯似乎有問題。 : 我覺得原原po的解法思路沒問題 就"X軸內積"這個說法不好 : 兩向量OP(x_1, y_1, z_1)和OQ(x_2, y_2, z_2)的內積是 : x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 : 因此兩向量內積的期望值 : E(OP．OQ) = E(x_1*x_2) + E(y_1*y_2) + E(z_1*z_2) : = 3*E(x_1*x_2) (因為三軸對稱) : 而x_1*x_2只有在兩向量x軸分量皆為1時=1 其餘狀況=0 : 兩向量x軸分量皆為1的機率 = 4*3/7*6 = 2/7 故所求=6/7 : : 首先你以x軸為例， : : 就表示以編號1為P，拿OP去和其他向量作內積 : : 這時候會和OP內積為1的只有Q在編號2、3、4的位置(題設P =/= Q) : : 也就是只有3種選擇， : : 你用C(4,2)就很奇怪，這時P怎麼能變動？ : : 再說O3向量 和 O4向量 的內積是2！不是1！ : : 我的作法是除了O和編號3之外，其餘再分成地位相同的兩群 : : [0 + (2 + 0) * 3 + 1 * 3 + 2 * 3 + 1 * 3]/C(7, 2) : : = 3 * [2 + 1 + 2 + 1] / 21 : : = 18/21 = 6/7 : : 雖然就算式而言可以寫成3 * ()， : : 但是計數時的地位不一樣， : : 不會貿然直接乘以3 : 我覺得AI沒有不好 我解板上的題目也會先丟ChatGPT試試看 : 低機率花一分鐘就得到自己想半小時才想到的思路 : 題外話 最近讀GSLin的部落格看到Stack Overflow的提問數統計 : ChatGPT出現後 提問數從每個月87543跌到現在的3862...... : https://data.stackexchange.com/stackoverflow/query/1926661#graph 倒是因為這個機會，正好遇到有人分享一個非常漂亮的解法(非我能力所及) 一樣是用座標化的觀點，但他利用了以下向量內積的基本公式： → → → → → 2 → → → 2 (u + v)‧(u + v) =| u | + 2u ‧v + | v | 如此一來，可以把原先7種向量: (0,0,1)(0,1,0)(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1) 全部相加後，自己和自己內積，然後扣除這些向量長度的平方 → → 就可以得到2u ‧v，也就是所有可能內積值的加總 * 2 意思大約是這樣: → → → u1 = (0,0,1), u2 = (0,1,0), .... ,u7 = (1,1,1) → → → → → → (u1 + u2 + ... + u7) ‧ (u1 + u2 + ... + u7) → 2 → 2 → 2 → → =|u1| + |u2| + ... + |u7| + 2Σui‧uj 乍看之下，似乎要像我一樣列出上述7個向量老實相加得(4,4,4) 但實際上不用列出來，因為可以這樣觀察: 舉x分量為1為例，x分量為1的，應該可看出全部落在某一面正立方體的4個頂點上 所以x分量相加為4，其他同理 而那7個向量內積平方的結果只有3種可能: (i) 內積為1 => 恰一分量為1 => 有C(3,1) = 3種可能 (ii) 內積為2 => 恰2分量為1 => 有C(3,2) = 3種可能 (iii) 內積為3 => 3個分量都為1 => 有C(3,3) = 1種可能(這很trival，直接列出來就好) 如此一來，先前的想法變成： → → (4,4,4)‧(4,4,4) = 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 1 + 2Σui‧uj → → => 48 = 3 + 6 + 3 + 2Σui‧uj → → => 2Σui‧uj = 36 → → => Σui‧uj = 18 接著用期望值的: 總獎金/總次數概念，可得期望值 = 18/C(7,2) = 18/21 = 6/7 漂亮的點: 雖然看似是把所有座標列出來，要寫7*7=49個向量， 實際上： (1) 內積總和可以用幾何觀念快速看出來 (2) 7個向量長度，實際上只需要用先前的分類方式， 數量配合基本的組合觀念就可以算了 (3) 計算量不大，且把那21種可能的加總，用簡潔的方式計算出來 回到排列組合的本質： 列舉就好了? 為什麼要弄這些C幾取幾? P幾取幾? 排列、組合、分堆、分組...? 用下去之後，常常會出現那種: 啊文字敘述這裡寫這樣，為什麼這題要除以2? 那題要乘以2? 這次又不用了? 為什麼分情況要這樣分? 我這樣為什麼不行? 我以前剛開始學會有這些問題， 後來我發現剛開始學應該要做的正是： 先列舉 你不自己根據題意列舉看看，看看他的pattern應該長怎樣， 就會淪落到那種： 我用這樣的中文解釋"好像"說得通啊，可是為什麼我的解法是錯的? 面對自己不了解、看不懂解法的題目， 老實說真的就一句話： 先列舉一部分出來看就對了，列舉足夠多，就可以看出規則 這就回應到很多學生(包含我在學生時代剛開始學)學排列組合無法掌握的問題： 既然能列舉看出來，何不這樣做? 老實說，以解題答對來說，如果題目的情況允許， 當然沒問題 但通常就是那些老師、補習班給的例題，一定會有不少不能這樣做的 這些不能做的原先是排列組合課程希望能傳達的精神而做的設計 但往往因為缺乏良好的表達方法和機制， 導致學生大多難以真正掌握為什麼要那樣分? 那樣解? 但諷刺的是，課堂往往老師沒有時間全部劃給你看， 學生往往有惰性，簡單題不畫就答對了， 進階題就想說不畫了，靠我的"國文"理解去想， 然後往往就是中槍，答錯很多，產生挫折感，然後就學不好了... 因此，我想表達的是: 解沒看過的排列組合題，本來就應該先列舉看看， 然後再觀察有沒有規律，讓我們可以用學過的基本技巧解 這些漂亮的解法，要完全理解，多少需要這樣做，才會有這些靈感... 漂亮的解法和排列組合的技巧， 不過就是幫你把後續需要無腦列舉的過程簡化而已 (當然要用得好，像是翰林雲端學院那個分那麼多情況，然後C(3,1)...做啥的 我第一時間就覺得：啊還不如直接列舉... ) 還要有個觀念： 排列組合的計數技巧，並不能用來簡化： 必須全部列出的場合(像是我如果真的要列出1~9的所有排列的pattern長怎樣) 他簡化的是: 我如何用更有效率的方式，讓我能快速找出這些全部排列組合的"總數"為何? 我相信如我版上有些人接觸一點點coding contest 有些題目的優化方法，應該可以讓諸位了解我想表達的 --

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