※ 引述《AquaCute (水色铜碲)》之铭言： : ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言： : (恕删) : : 如果我没有误会你的思路的话， : : 这一步逻辑似乎有问题。 : 我觉得原原po的解法思路没问题 就"X轴内积"这个说法不好 : 两向量OP(x_1, y_1, z_1)和OQ(x_2, y_2, z_2)的内积是 : x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 : 因此两向量内积的期望值 : E(OP．OQ) = E(x_1*x_2) + E(y_1*y_2) + E(z_1*z_2) : = 3*E(x_1*x_2) (因为三轴对称) : 而x_1*x_2只有在两向量x轴分量皆为1时=1 其余状况=0 : 两向量x轴分量皆为1的机率 = 4*3/7*6 = 2/7 故所求=6/7 : : 首先你以x轴为例， : : 就表示以编号1为P，拿OP去和其他向量作内积 : : 这时候会和OP内积为1的只有Q在编号2、3、4的位置(题设P =/= Q) : : 也就是只有3种选择， : : 你用C(4,2)就很奇怪，这时P怎麽能变动？ : : 再说O3向量 和 O4向量 的内积是2！不是1！ : : 我的作法是除了O和编号3之外，其余再分成地位相同的两群 : : [0 + (2 + 0) * 3 + 1 * 3 + 2 * 3 + 1 * 3]/C(7, 2) : : = 3 * [2 + 1 + 2 + 1] / 21 : : = 18/21 = 6/7 : : 虽然就算式而言可以写成3 * ()， : : 但是计数时的地位不一样， : : 不会贸然直接乘以3 : 我觉得AI没有不好 我解板上的题目也会先丢ChatGPT试试看 : 低机率花一分钟就得到自己想半小时才想到的思路 : 题外话 最近读GSLin的部落格看到Stack Overflow的提问数统计 : ChatGPT出现後 提问数从每个月87543跌到现在的3862...... : https://data.stackexchange.com/stackoverflow/query/1926661#graph 倒是因为这个机会，正好遇到有人分享一个非常漂亮的解法(非我能力所及) 一样是用座标化的观点，但他利用了以下向量内积的基本公式： → → → → → 2 → → → 2 (u + v)‧(u + v) =| u | + 2u ‧v + | v | 如此一来，可以把原先7种向量: (0,0,1)(0,1,0)(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1) 全部相加後，自己和自己内积，然後扣除这些向量长度的平方 → → 就可以得到2u ‧v，也就是所有可能内积值的加总 * 2 意思大约是这样: → → → u1 = (0,0,1), u2 = (0,1,0), .... ,u7 = (1,1,1) → → → → → → (u1 + u2 + ... + u7) ‧ (u1 + u2 + ... + u7) → 2 → 2 → 2 → → =|u1| + |u2| + ... + |u7| + 2Σui‧uj 乍看之下，似乎要像我一样列出上述7个向量老实相加得(4,4,4) 但实际上不用列出来，因为可以这样观察: 举x分量为1为例，x分量为1的，应该可看出全部落在某一面正立方体的4个顶点上 所以x分量相加为4，其他同理 而那7个向量内积平方的结果只有3种可能: (i) 内积为1 => 恰一分量为1 => 有C(3,1) = 3种可能 (ii) 内积为2 => 恰2分量为1 => 有C(3,2) = 3种可能 (iii) 内积为3 => 3个分量都为1 => 有C(3,3) = 1种可能(这很trival，直接列出来就好) 如此一来，先前的想法变成： → → (4,4,4)‧(4,4,4) = 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 1 + 2Σui‧uj → → => 48 = 3 + 6 + 3 + 2Σui‧uj → → => 2Σui‧uj = 36 → → => Σui‧uj = 18 接着用期望值的: 总奖金/总次数概念，可得期望值 = 18/C(7,2) = 18/21 = 6/7 漂亮的点: 虽然看似是把所有座标列出来，要写7*7=49个向量， 实际上： (1) 内积总和可以用几何观念快速看出来 (2) 7个向量长度，实际上只需要用先前的分类方式， 数量配合基本的组合观念就可以算了 (3) 计算量不大，且把那21种可能的加总，用简洁的方式计算出来 回到排列组合的本质： 列举就好了? 为什麽要弄这些C几取几? P几取几? 排列、组合、分堆、分组...? 用下去之後，常常会出现那种: 啊文字叙述这里写这样，为什麽这题要除以2? 那题要乘以2? 这次又不用了? 为什麽分情况要这样分? 我这样为什麽不行? 我以前刚开始学会有这些问题， 後来我发现刚开始学应该要做的正是： 先列举 你不自己根据题意列举看看，看看他的pattern应该长怎样， 就会沦落到那种： 我用这样的中文解释"好像"说得通啊，可是为什麽我的解法是错的? 面对自己不了解、看不懂解法的题目， 老实说真的就一句话： 先列举一部分出来看就对了，列举足够多，就可以看出规则 这就回应到很多学生(包含我在学生时代刚开始学)学排列组合无法掌握的问题： 既然能列举看出来，何不这样做? 老实说，以解题答对来说，如果题目的情况允许， 当然没问题 但通常就是那些老师、补习班给的例题，一定会有不少不能这样做的 这些不能做的原先是排列组合课程希望能传达的精神而做的设计 但往往因为缺乏良好的表达方法和机制， 导致学生大多难以真正掌握为什麽要那样分? 那样解? 但讽刺的是，课堂往往老师没有时间全部划给你看， 学生往往有惰性，简单题不画就答对了， 进阶题就想说不画了，靠我的"国文"理解去想， 然後往往就是中枪，答错很多，产生挫折感，然後就学不好了... 因此，我想表达的是: 解没看过的排列组合题，本来就应该先列举看看， 然後再观察有没有规律，让我们可以用学过的基本技巧解 这些漂亮的解法，要完全理解，多少需要这样做，才会有这些灵感... 漂亮的解法和排列组合的技巧， 不过就是帮你把後续需要无脑列举的过程简化而已 (当然要用得好，像是翰林云端学院那个分那麽多情况，然後C(3,1)...做啥的 我第一时间就觉得：啊还不如直接列举... ) 还要有个观念： 排列组合的计数技巧，并不能用来简化： 必须全部列出的场合(像是我如果真的要列出1~9的所有排列的pattern长怎样) 他简化的是: 我如何用更有效率的方式，让我能快速找出这些全部排列组合的"总数"为何? 我相信如我版上有些人接触一点点coding contest 有些题目的优化方法，应该可以让诸位了解我想表达的 --

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