作者achibluu (achibluu)
看板Math
標題[中學] 關於克拉瑪公式之疑問
時間Thu Dec 25 02:37:30 2025
近期可能頻繁發文 再麻煩版上各位大大幫我解惑
https://imgur.com/qJPJcNd
克拉瑪之幾何意義中講義有提到'有向面積一詞'
我的理解是其用意是讓x為負數時最終結果能表現出來 否則面積應恆為正
這樣就解不出來了
https://imgur.com/pp1uIkG
我做的操作就是把用二階行列式中的絕對值去掉 讓x的正負能表現出來
如上圖
但我對'有向面積'還是蠻疑惑的 正負代表此面積之方向?
https://imgur.com/bn07AKU
且我對行列式之理解是源自於此
就二階行列式運算出的結果一數值而非有幾何意義之表達?
我覺得我對二階行列式也有些疑問
而幾何意義我是這樣理解的
c向量與a向量所張面積與a向量與b向量所張面積
我是如第一張圖講義的操作 我把a向量想成固定的一水平向量
c向量提供的水平向量(與a平行之向量)將不會對平行四邊形面積產生影響
取其對垂直(與b平行之向量)所提供之向量就可以求出y為何了
以上是我的疑問 再麻煩各位版友了 感恩
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1F：→ achibluu : 痾痾我覺得我語句好不流暢 請各位多多包含 12/25 02:39
2F：→ achibluu : 還有一些我做的愚蠢理解之類的 12/25 02:39
3F：→ achibluu : 再麻煩大家指正 謝謝 12/25 02:39
4F：→ Ricestone : 有向面積不是克拉瑪公式想講的東西，你的問題還是 12/25 03:26
5F：→ Ricestone : 來自二階行列式 12/25 03:26
6F：→ Ricestone : 實際上任意階行列式的絕對值都是那個維度的向量組出 12/25 03:28
7F：→ Ricestone : 的體積（二維時就變成面積） 12/25 03:29
8F：→ Ricestone : 只是行列式計算方式兩個向量對換會差一個正負號 12/25 03:30
9F：→ Ricestone : 所以用有向體積來表達會有正負而已 12/25 03:31
10F：→ Ricestone : 至於為什麼行列式是有向面積，那就是你的焦點20在 12/25 03:34
11F：→ Ricestone : 證明的東西 12/25 03:34
12F：→ Ricestone : 當然如果後面學習線代還會有比較直觀去解釋為什麼 12/25 03:40
13F：→ Ricestone : 會是體積 12/25 03:41
14F：推 ERT312 : 把焦點二十裡行列式的絕對值拿掉就是有向面積了 12/25 06:49
15F：→ ERT312 : 可以試著自己證明若是由AB向量逆時針掃過面積到達AC 12/25 06:51
16F：→ ERT312 : 面積會是正的，順時針則是負的 12/25 06:52
17F：→ ERT312 : 利用有向面積再去檢查焦點二十二的圖，你會發現不管 12/25 06:53
18F：→ ERT312 : x,y是正是負，公式的形式不變 12/25 06:53
19F：推 ERT312 : 利用有向面積的概念去看二階行列式的運算規則可以很 12/25 06:56
20F：→ ERT312 : 具體圖像化，但代數證明應該還是比較快 12/25 06:58
21F：推 wallowes : 應該是說來自二維空間的向量的外積 01/01 23:25
22F：→ wallowes : 比方說原本的二維空間是x、y，那外積只會產生z方向 01/01 23:26
23F：→ wallowes : 面積 01/01 23:26
24F：→ wallowes : 這就是有向面積的意思，就是垂直於原本面積的方向 01/01 23:27
25F：→ wallowes : 但面積的大小又只是原本面積的大小 01/01 23:28
26F：→ wallowes : 這就是無向面積 01/01 23:28
27F：→ wallowes : 來自三維空間的向量的外積 01/01 23:28
28F：→ wallowes : 才不會是單純的z方向，只能以+或-表示 01/01 23:28
29F：→ wallowes : 是因為來自二維空間的向量的外積才只會有+、-方向 01/01 23:29
30F：→ wallowes : 因為他必定垂直於x跟y張成的面積，那方向只會是z 01/01 23:30
31F：→ wallowes : 但現在考慮x、y、z張成的體積，要垂直於這個體積的 01/01 23:33
32F：→ wallowes : 表達就不會是單純的+、- 01/01 23:33
33F：推 wallowes : 哇，說錯很多 01/01 23:37
34F：→ wallowes : 兩者都是x、y張成的平面 01/01 23:37
35F：→ wallowes : 但前者的垂直方向只會是z，也就是+、-的意思 01/01 23:38
36F：→ wallowes : 後者的方向就沒有侷限在z的方向了 01/01 23:38
37F：→ wallowes : 所以這時候不會單純的用+、-表達 01/01 23:38
38F：→ wallowes : 不對 01/01 23:40
39F：→ wallowes : 是前者是沒有z方向，只能以+、-表示方向 01/01 23:40
40F：→ wallowes : 後者才有z方向... 01/01 23:40
41F：→ wallowes : 我應該先釐清再回答的 01/01 23:41
42F：推 wallowes : 一開始說的好像才是對的，被gpt誤導了? 01/01 23:48
43F：→ wallowes : 後者是兩個來自三維空間的向量的外積 01/01 23:49
44F：→ wallowes : 所以展開的平面不會再在x-y平面上了 01/01 23:49
45F：→ wallowes : 所以垂直的方向也不再是z 01/01 23:49
46F：→ wallowes : 這樣就對了吧... 01/01 23:50
49F：→ ibiwwn : 第一張圖檔無法開啟，請參考第二張圖檔 01/04 00:10
50F：→ ibiwwn : 下方圖檔是利用底乘高的證明，你也可以參考看看 01/04 09:06
53F：推 yueayase : 以我的直覺，如果有行列式與矩陣乘法的關係 01/11 17:22
54F：→ yueayase : 應該可以從線性變換的角度，解釋面積之間的轉換 01/11 17:22
55F：→ yueayase : 但我也沒真的弄過，所以現在不能明確講給你聽應該是 01/11 17:22
56F：→ yueayase : 細節應該是怎樣 01/11 17:23
57F：→ yueayase : 但現行高中課綱，課本我不大確定還有沒有介紹 01/11 17:23
58F：→ yueayase : det(AB)=det(A)det(B)? 這個推導沒用基本矩陣_ 01/11 17:24
59F：→ yueayase : 到三階，可能會變成複雜+難以直觀解釋的代數操作 01/11 17:24