作者achibluu (achibluu)
看板Math
标题[中学] 关於克拉玛公式之疑问
时间Thu Dec 25 02:37:30 2025
近期可能频繁发文 再麻烦版上各位大大帮我解惑
https://imgur.com/qJPJcNd
克拉玛之几何意义中讲义有提到'有向面积一词'
我的理解是其用意是让x为负数时最终结果能表现出来 否则面积应恒为正
这样就解不出来了
https://imgur.com/pp1uIkG
我做的操作就是把用二阶行列式中的绝对值去掉 让x的正负能表现出来
如上图
但我对'有向面积'还是蛮疑惑的 正负代表此面积之方向?
https://imgur.com/bn07AKU
且我对行列式之理解是源自於此
就二阶行列式运算出的结果一数值而非有几何意义之表达?
我觉得我对二阶行列式也有些疑问
而几何意义我是这样理解的
c向量与a向量所张面积与a向量与b向量所张面积
我是如第一张图讲义的操作 我把a向量想成固定的一水平向量
c向量提供的水平向量(与a平行之向量)将不会对平行四边形面积产生影响
取其对垂直(与b平行之向量)所提供之向量就可以求出y为何了
以上是我的疑问 再麻烦各位版友了 感恩
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.231.81.150 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1766601452.A.6EC.html
1F：→ achibluu : 痾痾我觉得我语句好不流畅 请各位多多包含 12/25 02:39
2F：→ achibluu : 还有一些我做的愚蠢理解之类的 12/25 02:39
3F：→ achibluu : 再麻烦大家指正 谢谢 12/25 02:39
4F：→ Ricestone : 有向面积不是克拉玛公式想讲的东西，你的问题还是 12/25 03:26
5F：→ Ricestone : 来自二阶行列式 12/25 03:26
6F：→ Ricestone : 实际上任意阶行列式的绝对值都是那个维度的向量组出 12/25 03:28
7F：→ Ricestone : 的体积（二维时就变成面积） 12/25 03:29
8F：→ Ricestone : 只是行列式计算方式两个向量对换会差一个正负号 12/25 03:30
9F：→ Ricestone : 所以用有向体积来表达会有正负而已 12/25 03:31
10F：→ Ricestone : 至於为什麽行列式是有向面积，那就是你的焦点20在 12/25 03:34
11F：→ Ricestone : 证明的东西 12/25 03:34
12F：→ Ricestone : 当然如果後面学习线代还会有比较直观去解释为什麽 12/25 03:40
13F：→ Ricestone : 会是体积 12/25 03:41
14F：推 ERT312 : 把焦点二十里行列式的绝对值拿掉就是有向面积了 12/25 06:49
15F：→ ERT312 : 可以试着自己证明若是由AB向量逆时针扫过面积到达AC 12/25 06:51
16F：→ ERT312 : 面积会是正的，顺时针则是负的 12/25 06:52
17F：→ ERT312 : 利用有向面积再去检查焦点二十二的图，你会发现不管 12/25 06:53
18F：→ ERT312 : x,y是正是负，公式的形式不变 12/25 06:53
19F：推 ERT312 : 利用有向面积的概念去看二阶行列式的运算规则可以很 12/25 06:56
20F：→ ERT312 : 具体图像化，但代数证明应该还是比较快 12/25 06:58
21F：推 wallowes : 应该是说来自二维空间的向量的外积 01/01 23:25
22F：→ wallowes : 比方说原本的二维空间是x、y，那外积只会产生z方向 01/01 23:26
23F：→ wallowes : 面积 01/01 23:26
24F：→ wallowes : 这就是有向面积的意思，就是垂直於原本面积的方向 01/01 23:27
25F：→ wallowes : 但面积的大小又只是原本面积的大小 01/01 23:28
26F：→ wallowes : 这就是无向面积 01/01 23:28
27F：→ wallowes : 来自三维空间的向量的外积 01/01 23:28
28F：→ wallowes : 才不会是单纯的z方向，只能以+或-表示 01/01 23:28
29F：→ wallowes : 是因为来自二维空间的向量的外积才只会有+、-方向 01/01 23:29
30F：→ wallowes : 因为他必定垂直於x跟y张成的面积，那方向只会是z 01/01 23:30
31F：→ wallowes : 但现在考虑x、y、z张成的体积，要垂直於这个体积的 01/01 23:33
32F：→ wallowes : 表达就不会是单纯的+、- 01/01 23:33
33F：推 wallowes : 哇，说错很多 01/01 23:37
34F：→ wallowes : 两者都是x、y张成的平面 01/01 23:37
35F：→ wallowes : 但前者的垂直方向只会是z，也就是+、-的意思 01/01 23:38
36F：→ wallowes : 後者的方向就没有局限在z的方向了 01/01 23:38
37F：→ wallowes : 所以这时候不会单纯的用+、-表达 01/01 23:38
38F：→ wallowes : 不对 01/01 23:40
39F：→ wallowes : 是前者是没有z方向，只能以+、-表示方向 01/01 23:40
40F：→ wallowes : 後者才有z方向... 01/01 23:40
41F：→ wallowes : 我应该先厘清再回答的 01/01 23:41
42F：推 wallowes : 一开始说的好像才是对的，被gpt误导了? 01/01 23:48
43F：→ wallowes : 後者是两个来自三维空间的向量的外积 01/01 23:49
44F：→ wallowes : 所以展开的平面不会再在x-y平面上了 01/01 23:49
45F：→ wallowes : 所以垂直的方向也不再是z 01/01 23:49
46F：→ wallowes : 这样就对了吧... 01/01 23:50
49F：→ ibiwwn : 第一张图档无法开启，请参考第二张图档 01/04 00:10
50F：→ ibiwwn : 下方图档是利用底乘高的证明，你也可以参考看看 01/04 09:06
53F：推 yueayase : 以我的直觉，如果有行列式与矩阵乘法的关系 01/11 17:22
54F：→ yueayase : 应该可以从线性变换的角度，解释面积之间的转换 01/11 17:22
55F：→ yueayase : 但我也没真的弄过，所以现在不能明确讲给你听应该是 01/11 17:22
56F：→ yueayase : 细节应该是怎样 01/11 17:23
57F：→ yueayase : 但现行高中课纲，课本我不大确定还有没有介绍 01/11 17:23
58F：→ yueayase : det(AB)=det(A)det(B)? 这个推导没用基本矩阵_ 01/11 17:24
59F：→ yueayase : 到三阶，可能会变成复杂+难以直观解释的代数操作 01/11 17:24