[無窮數列的盡頭是什麼？]一文中，將數列看成動態數字， 人腦能自動領略大概，矽腦 (AI) 需告知標準外的規則。 以下數列中數項為實數，有限數列 x，y 長度設為 n， ⊕ 表示實數算子，R 表示實數比較關係。 集合觀：{x_1, x_2, ..., x_n} 看成有序可重複數項集合，元素稱為數項。 重點在數列中的數項，有何性質規律？ 集合與數列概念有相通之處，也體現在共用 { } 符號。 向量觀：(x_1, x_2, ..., x_n) 看成向量，元素稱為分項。 x⊕y ≡ {x_1⊕y_1, x_2⊕y_2, ..., x_n⊕y_n}， 實數算子⊕在對應分項上逐項運算，單元或多元算子同理類推。 動數觀：x = {x_t}，t = 1, 2, ..., n， 數字 x 在時間 t 截面的數項 x_t 可稱為截項。 數列是動態的數字，數字是靜態的數列，r ≡ {r}。 動數觀特點在關係。設 x = {x_t}，y = {x_t}，t = 1, 2, ..., n， 實數比較關係 R 及否關係 -R。 兩動態數字 x，y 之間有以下可能關係： - 恆有關係：x R y 表示所有時間的 x_s，y_s 都有關係 R。 ∀s，1 ≦ s ≦ n，x_s R y_s； - 恆無關係：x -R y 表示所有時間的 x_t，y_t 為否關係 -R。 ∀t，1 ≦ t ≦ n，x_t -R y_t； - 糾纏關係：x ~R y 表示分項間有時是關係 R，有時是否關係 -R。 ∃ s ≠ t，1 ≦ s,t ≦ n，x_s R y_s 且 x_t -R y_t； - 動態關係三一律：x R y，x -R y 或 x ~R y 三者之一成立。 數列的集合觀焦點在數項，向量觀重點在運算，動數觀特點在關係， 但動數觀實為三合一的數字觀。 數字一詞本意多指靜態數字，本文靜態單值稱數，動態多值曰量， 以下稱數量 x 時，表示 x 為靜態實數或視為向量的數列。 給定實數算子⊕、實數比較關係 R，兩數量(數字或數列) x，y， 表達式 x⊕y，x R y 良定義。 例如令 x = {1, 3, 7, 15, 31}，x - 1 = {0, 2, 6, 14, 30}， 2 x = {2, 6, 14, 30, 62}，x ≠ 0，x - 1 ≠ 2 x，x - 1 < 2 x， 又如令 y = {1/2, 1/4, 1/8}，z = {0.9, 0.99, 0.999}，0 < y < z < 1。 數字是靜態的數列，數量的運算或關係， 持續作用在對應分項(同時間截面的數項)上。 糾纏關係 x ~R y 的命名令人糾纏，不時、時不時、時有時無、 或有或無、三不五時等詞彙，描述數量 x，y 過程的不同時間截面中， 對應項之間 R 或 -R 的糾纏關係。 此外例如 w = {0, -1, 1/2, -1/3, 1/4}，雖 w ≦ 1/2，w ≧ -1， 但 w ~> 0，w ~= 0，w ~< 0，糾纏關係的符號和表達多樣性也令人糾纏。 如果發散級數是魔鬼的發明，發散數列也是嗎？ 當有限過程趨向無窮時，動態數字觀點下， 無窮數列有收斂很好，不收斂正常，只要定義明確，就是有效數學物件。 例如量階概念 O(x) = O(x_n) 表徵了動態數字量值變化的程度， 可用來描述量值發散到無窮大，或量值收斂到零的速度。 動態數字也是一種數字過程，可以成為認識、學習隨機過程前的基礎概念。 給兩無窮數列 x = {x_t}，y = {x_t}，時間足標 t 遍歷全部自然數， 設實數比較關係 R 及否關係 -R，兩數量 x，y 有以下可能關係： - 終究有關：x R_a y 表示時間夠久後 x_m，y_m 終究有關係 R。 ∃ N，∀ m > N 恆有 x_m R y_m； - 終究無關：x -R_a y 表示時間夠久後 x_n，y_n 終究為否關係 ~R。 ∃ N，∀ n > N 恆有 x_n -R y_n； - 終究糾纏：x ~R_a y 表示不管多久後，分項間關係總有時是 R，有時是 -R。 ∀ N，∃ m, n > N，m ≠ n，x_m R y_m 且 x_n -R y_n； - 終究關係三一律：x R_a y，x -R_a y 或 x ~R_a y 三者之一成立。 終究關係與極限和極量相關，極量概念參考[無窮數列的盡頭是什麼？]一文。 例如令 x = {1/n}，∀ ε > 0，0 < x <_a ε，lim x = 0，0 < Lim x < ε。 再如令 y = {(-1)^n / n}， ∀ ε > 0，-ε <_a y <_a ε，lim y = 0，-ε < Lim y < ε。 終究糾纏 y = ~> 0，y ~< 0，y ~≦ 0，y ~≧ 0 時，y 換成 Lim y 同樣成立。 標準數學中的無窮數列，時間足標 t 遍歷全部有限自然數。 動態數字能否超越有限壁壘，突破標準數學的實無窮概念？ 加入時間維度的動數觀，可以用來推廣數系概念嗎？ 如何看數列，除了上述觀點外，你有什麼看法？ 作者: ginstein (邁向學術之路) 看板: Math 標題: [其他] 存在或不存在，認知邊界所在！ 時間: Sat Oct 9 10:23:xx 2025 幾個故事。其一，傳說希帕索斯被畢氏學派扔到海裡， 因為他發現無理數√2，動搖畢氏學派「萬物皆數」的信念。 其二，某次學術會議結束後，拉普拉斯匆匆返家， 急於檢驗《天體力學》中所用的無窮級數是否收斂── 因為柯西會議上剛提出了收斂級數理論。 其三，康托爾於精神病院辭世，雖然建立了實無窮集合的樂園， 但主流觀念是潛無窮的時代下，康托爾被認為離經叛道抑鬱而終。 故事映照出人性的矛盾， 既渴望理論創新帶來的見識增長，又恐懼過於顛覆動搖了認知基礎。 要知道偉大如高斯，早就對非歐幾何有深刻理解， 卻因為擔憂顛覆傳統觀點引發爭議，而沒有公開發表。 對比之下，同時代的其他非歐幾何創始者， 羅巴切夫斯基和高斯好友的兒子小鮑耶，他們的人生就相對坎坷了。 創新發現成了顛覆認知，發現者成了孤勇者。 故事是過去的人生，現實是未來的故事。 如果無窮數列有限足標的分項外，竟然「存在」未知的無窮概念！ 如果數系竟然「存在」動態觀、無窮小量與無窮大量！ 如果看似一點的實數竟然「存在」內部！ 顛覆了標準數學的無窮觀、數字觀、幾何觀， 顯示了標準基礎的侷限，動搖了標準數學的權威， 讓人誤會嚴謹數學理論不正確， 這種「存在」，厭惡數學者或喜聞樂見，熱愛數學者卻不免徬徨！ 不知所措時，歷史能給予我們什麼啟示？ 「存在或不存在，認知邊界所在！」 抗拒無理數，否定非歐幾何，排斥實無窮， 反映了時代的認知侷限，而非無知偏見。 負數、無理數、虛數、實無窮等概念，如今習以為常，卻也曾被斥荒謬。 擴展標準數學三觀的論點其實不新， 非標準分析中早就指出，只是備受忽視。 數學史啟示我們，隨著認知邊界的拓展，當標準外的概念通過考驗， 當認知外的不存在，成為認知內的存在，新概念的曙光將驅散迷霧， 照亮更廣闊的數學疆界，揭露更深層的數學結構。 歷史啟示外，未來更可期。 這時代有機會見證 AI 數學家的誕生，期待 AI 數學家的到來， 以全新的視角拓展數學的認知邊界，或引領下一次數學革命的到來！ 作者: ginstein (邁向學術之路) 看板: Math 標題: [其他] 文字修正調整備註 時間: Sat Oct 25 08:30:xx 2025 為了[無窮數列的盡頭是什麼]系列文章用詞術語一致性，後續文章採用以下文字修正調整 。 [如何看無窮，自然數列下，觀點有哪些？]一文中區分潛無窮(「有限」觀)、實無窮(「 無窮」觀)、超限序數(超序觀)及超無窮(「超限」觀)的觀點。稱 {1, 2, ..., n} 為「 有限」數列；稱 {n} = {..., n, ... |} 為「無窮」數列；稱 {n^*} = {|..., n^*, ...} 為「超限」數列。 [如何看數列，實數基礎下，觀點有哪些？]一文中糾纏關係的命名令人糾纏。「終究糾纏 」關係 x ~R_a y 定義為 ∀ N，∃ m, n > N，m ≠ n，x_m R y_m 且 x_n -R y_n。從 定義看，不論何時開始，總有關係 R 與 -R 糾纏不斷，稱之為「恆為糾纏」更洽當。兩 無窮數列的動態關係中，「終究有關」x R_a y、「終究無關」x -R_a y、「恆為糾纏」 x ~R_a y 三者之一成立。 「存在或不存在，認知邊界所在！」一文中，初版發文後臨時讓 AI 檢查錯字和評論，改 了明顯錯字和病句，還有許多參考建議還沒修改，初版只有「期待 AI 數學家的到來」， 但後來納入 AI 提供的「以全新的視角拓展數學的認知邊界」、「引領下一次數學革命的 到來」！因此重複了「到來」兩次。再次修改後，屆時補上 AI 協作修改版。 估計三篇文後結束本系列主要文章，為避免用詞術語一改再改，後續文章大致定稿後再發 文。 [無窮數列的盡頭是什麼]: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250921/無窮數列的盡頭是什麼？ [如何看無窮，自然數列下，觀點有哪些？]: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250930/如何看無窮，自然數列下，觀 點有哪些？ [如何看數列，實數基礎下，觀點有哪些？]: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20251003/如何看數列，實數基礎下，觀 點有哪些？ -- At the end, it never ends. --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.35.189.25 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1759578762.A.73A.html ※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/05/2025 13:31:09 是不是只單看一篇文？ 建議從「無窮數列的盡頭是什麼？」一文中，開始和 AI 互動。 我都先發文，再試 AI，試了好幾款，大多有不錯的評價，例如 Claude https://meee.com.tw/rWfnuYe 補充說明，如何看無窮那篇，順便改一下用詞，有窮、實窮、超窮，看起來太窮 XD ※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/07/2025 10:05:35 ※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/09/2025 10:23:59 ※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/09/2025 12:20:29 ※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/25/2025 08:30:29