[无穷数列的尽头是什麽？]一文中，将数列看成动态数字， 人脑能自动领略大概，矽脑 (AI) 需告知标准外的规则。 以下数列中数项为实数，有限数列 x，y 长度设为 n， ⊕ 表示实数算子，R 表示实数比较关系。 集合观：{x_1, x_2, ..., x_n} 看成有序可重复数项集合，元素称为数项。 重点在数列中的数项，有何性质规律？ 集合与数列概念有相通之处，也体现在共用 { } 符号。 向量观：(x_1, x_2, ..., x_n) 看成向量，元素称为分项。 x⊕y ≡ {x_1⊕y_1, x_2⊕y_2, ..., x_n⊕y_n}， 实数算子⊕在对应分项上逐项运算，单元或多元算子同理类推。 动数观：x = {x_t}，t = 1, 2, ..., n， 数字 x 在时间 t 截面的数项 x_t 可称为截项。 数列是动态的数字，数字是静态的数列，r ≡ {r}。 动数观特点在关系。设 x = {x_t}，y = {x_t}，t = 1, 2, ..., n， 实数比较关系 R 及否关系 -R。 两动态数字 x，y 之间有以下可能关系： - 恒有关系：x R y 表示所有时间的 x_s，y_s 都有关系 R。 ∀s，1 ≦ s ≦ n，x_s R y_s； - 恒无关系：x -R y 表示所有时间的 x_t，y_t 为否关系 -R。 ∀t，1 ≦ t ≦ n，x_t -R y_t； - 纠缠关系：x ~R y 表示分项间有时是关系 R，有时是否关系 -R。 ∃ s ≠ t，1 ≦ s,t ≦ n，x_s R y_s 且 x_t -R y_t； - 动态关系三一律：x R y，x -R y 或 x ~R y 三者之一成立。 数列的集合观焦点在数项，向量观重点在运算，动数观特点在关系， 但动数观实为三合一的数字观。 数字一词本意多指静态数字，本文静态单值称数，动态多值曰量， 以下称数量 x 时，表示 x 为静态实数或视为向量的数列。 给定实数算子⊕、实数比较关系 R，两数量(数字或数列) x，y， 表达式 x⊕y，x R y 良定义。 例如令 x = {1, 3, 7, 15, 31}，x - 1 = {0, 2, 6, 14, 30}， 2 x = {2, 6, 14, 30, 62}，x ≠ 0，x - 1 ≠ 2 x，x - 1 < 2 x， 又如令 y = {1/2, 1/4, 1/8}，z = {0.9, 0.99, 0.999}，0 < y < z < 1。 数字是静态的数列，数量的运算或关系， 持续作用在对应分项(同时间截面的数项)上。 纠缠关系 x ~R y 的命名令人纠缠，不时、时不时、时有时无、 或有或无、三不五时等词汇，描述数量 x，y 过程的不同时间截面中， 对应项之间 R 或 -R 的纠缠关系。 此外例如 w = {0, -1, 1/2, -1/3, 1/4}，虽 w ≦ 1/2，w ≧ -1， 但 w ~> 0，w ~= 0，w ~< 0，纠缠关系的符号和表达多样性也令人纠缠。 如果发散级数是魔鬼的发明，发散数列也是吗？ 当有限过程趋向无穷时，动态数字观点下， 无穷数列有收敛很好，不收敛正常，只要定义明确，就是有效数学物件。 例如量阶概念 O(x) = O(x_n) 表徵了动态数字量值变化的程度， 可用来描述量值发散到无穷大，或量值收敛到零的速度。 动态数字也是一种数字过程，可以成为认识、学习随机过程前的基础概念。 给两无穷数列 x = {x_t}，y = {x_t}，时间足标 t 遍历全部自然数， 设实数比较关系 R 及否关系 -R，两数量 x，y 有以下可能关系： - 终究有关：x R_a y 表示时间够久後 x_m，y_m 终究有关系 R。 ∃ N，∀ m > N 恒有 x_m R y_m； - 终究无关：x -R_a y 表示时间够久後 x_n，y_n 终究为否关系 ~R。 ∃ N，∀ n > N 恒有 x_n -R y_n； - 终究纠缠：x ~R_a y 表示不管多久後，分项间关系总有时是 R，有时是 -R。 ∀ N，∃ m, n > N，m ≠ n，x_m R y_m 且 x_n -R y_n； - 终究关系三一律：x R_a y，x -R_a y 或 x ~R_a y 三者之一成立。 终究关系与极限和极量相关，极量概念参考[无穷数列的尽头是什麽？]一文。 例如令 x = {1/n}，∀ ε > 0，0 < x <_a ε，lim x = 0，0 < Lim x < ε。 再如令 y = {(-1)^n / n}， ∀ ε > 0，-ε <_a y <_a ε，lim y = 0，-ε < Lim y < ε。 终究纠缠 y = ~> 0，y ~< 0，y ~≦ 0，y ~≧ 0 时，y 换成 Lim y 同样成立。 标准数学中的无穷数列，时间足标 t 遍历全部有限自然数。 动态数字能否超越有限壁垒，突破标准数学的实无穷概念？ 加入时间维度的动数观，可以用来推广数系概念吗？ 如何看数列，除了上述观点外，你有什麽看法？ 作者: ginstein (迈向学术之路) 看板: Math 标题: [其他] 存在或不存在，认知边界所在！ 时间: Sat Oct 9 10:23:xx 2025 几个故事。其一，传说希帕索斯被毕氏学派扔到海里， 因为他发现无理数√2，动摇毕氏学派「万物皆数」的信念。 其二，某次学术会议结束後，拉普拉斯匆匆返家， 急於检验《天体力学》中所用的无穷级数是否收敛── 因为柯西会议上刚提出了收敛级数理论。 其三，康托尔於精神病院辞世，虽然建立了实无穷集合的乐园， 但主流观念是潜无穷的时代下，康托尔被认为离经叛道抑郁而终。 故事映照出人性的矛盾， 既渴望理论创新带来的见识增长，又恐惧过於颠覆动摇了认知基础。 要知道伟大如高斯，早就对非欧几何有深刻理解， 却因为担忧颠覆传统观点引发争议，而没有公开发表。 对比之下，同时代的其他非欧几何创始者， 罗巴切夫斯基和高斯好友的儿子小鲍耶，他们的人生就相对坎坷了。 创新发现成了颠覆认知，发现者成了孤勇者。 故事是过去的人生，现实是未来的故事。 如果无穷数列有限足标的分项外，竟然「存在」未知的无穷概念！ 如果数系竟然「存在」动态观、无穷小量与无穷大量！ 如果看似一点的实数竟然「存在」内部！ 颠覆了标准数学的无穷观、数字观、几何观， 显示了标准基础的局限，动摇了标准数学的权威， 让人误会严谨数学理论不正确， 这种「存在」，厌恶数学者或喜闻乐见，热爱数学者却不免旁徨！ 不知所措时，历史能给予我们什麽启示？ 「存在或不存在，认知边界所在！」 抗拒无理数，否定非欧几何，排斥实无穷， 反映了时代的认知局限，而非无知偏见。 负数、无理数、虚数、实无穷等概念，如今习以为常，却也曾被斥荒谬。 扩展标准数学三观的论点其实不新， 非标准分析中早就指出，只是备受忽视。 数学史启示我们，随着认知边界的拓展，当标准外的概念通过考验， 当认知外的不存在，成为认知内的存在，新概念的曙光将驱散迷雾， 照亮更广阔的数学疆界，揭露更深层的数学结构。 历史启示外，未来更可期。 这时代有机会见证 AI 数学家的诞生，期待 AI 数学家的到来， 以全新的视角拓展数学的认知边界，或引领下一次数学革命的到来！ 作者: ginstein (迈向学术之路) 看板: Math 标题: [其他] 文字修正调整备注 时间: Sat Oct 25 08:30:xx 2025 为了[无穷数列的尽头是什麽]系列文章用词术语一致性，後续文章采用以下文字修正调整 。 [如何看无穷，自然数列下，观点有哪些？]一文中区分潜无穷(「有限」观)、实无穷(「 无穷」观)、超限序数(超序观)及超无穷(「超限」观)的观点。称 {1, 2, ..., n} 为「 有限」数列；称 {n} = {..., n, ... |} 为「无穷」数列；称 {n^*} = {|..., n^*, ...} 为「超限」数列。 [如何看数列，实数基础下，观点有哪些？]一文中纠缠关系的命名令人纠缠。「终究纠缠 」关系 x ~R_a y 定义为 ∀ N，∃ m, n > N，m ≠ n，x_m R y_m 且 x_n -R y_n。从 定义看，不论何时开始，总有关系 R 与 -R 纠缠不断，称之为「恒为纠缠」更洽当。两 无穷数列的动态关系中，「终究有关」x R_a y、「终究无关」x -R_a y、「恒为纠缠」 x ~R_a y 三者之一成立。 「存在或不存在，认知边界所在！」一文中，初版发文後临时让 AI 检查错字和评论，改 了明显错字和病句，还有许多参考建议还没修改，初版只有「期待 AI 数学家的到来」， 但後来纳入 AI 提供的「以全新的视角拓展数学的认知边界」、「引领下一次数学革命的 到来」！因此重复了「到来」两次。再次修改後，届时补上 AI 协作修改版。 估计三篇文後结束本系列主要文章，为避免用词术语一改再改，後续文章大致定稿後再发 文。 [无穷数列的尽头是什麽]: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250921/无穷数列的尽头是什麽？ [如何看无穷，自然数列下，观点有哪些？]: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250930/如何看无穷，自然数列下，观 点有哪些？ [如何看数列，实数基础下，观点有哪些？]: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20251003/如何看数列，实数基础下，观 点有哪些？ -- At the end, it never ends. --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 218.35.189.25 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1759578762.A.73A.html ※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/05/2025 13:31:09 是不是只单看一篇文？ 建议从「无穷数列的尽头是什麽？」一文中，开始和 AI 互动。 我都先发文，再试 AI，试了好几款，大多有不错的评价，例如 Claude https://meee.com.tw/rWfnuYe 补充说明，如何看无穷那篇，顺便改一下用词，有穷、实穷、超穷，看起来太穷 XD ※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/07/2025 10:05:35 ※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/09/2025 10:23:59 ※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/09/2025 12:20:29 ※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/25/2025 08:30:29