考慮√-1的解,得±i,
高中課本通常取+i,但 -i 其實也是對的,
這才符合代數基本定理要求。
考慮y=√x ,x屬於正數,得兩根 ±√x,
例如:√9,得±3。
考慮√-x,x屬於正數,同樣得兩根 ±i√x。
例如:√-4,得±2i。
所以開平方根函數為二值函數,
考慮n次根號x,x屬於複數,由棣美弗 de Moivre 公式得n個根
此說明了開根號函數為多值函數。
這邊濫用符號,應該用極座標表示z=r e^iθ,√z應該寫成z^1/2 才是,
bbs介面,數學符號太難表示了。
w=f(z)
可不可能把多值函數變成正常函數,1對1或多對1
黎曼解決了此問題,把多值函數給單值化,他把定義域z平面給擴大
考慮所謂的單值化曲面,i.e.黎曼曲面 Riemann surface,
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/黎曼曲面
以函數 w=√z 為例,
只取一片高斯複平面(定義域 z平面),會得到2值函數
那拿2片高斯複平面呢!
2片一上一下,各自切開負x軸,見wiki的圖
上片切口的上側跟下片切口的下側黏在一起,
上片切口的下側跟下片切口的上側黏在一起。
2葉曲面 1對1 且 onto 到值域,複w平面上
also see
Needham:visual complex analysis 2023,
Needham:複分析可視化方法 第2版,齊民友譯 2021 第2.6節
Springer:Riemann surface,ch.1
Shabat 沙巴特:複分析導論 第1卷(2011)第3.10節
Mathews,Walker(1970)mathematical methods of physics,p473~
物理上例子:Einstein-Rosen bridge
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/tj/蟲洞#度規
把 Schwarzschild metric 做變數變換
u^2=r-2m 這步驟
https://www.changhai.org/articles/science/physics/energy_condition/wormhole_1.php#footnotes
"Einstein 和 Rosen 通過本質上是將黑洞外部區域覆蓋2次的特殊坐標變換出的所謂
“橋梁”, 其實只是坐標缺陷帶來的幻像,......"
※ 編輯: topstr (36.227.125.74 臺灣), 07/29/2025 09:59:19
1F:推 wallowes : log Z啊,用brunch來區分principal brunch是 08/08 19:26
2F:→ wallowes : -π<θ<=π 08/08 19:27