考虑√-1的解,得±i,
高中课本通常取+i,但 -i 其实也是对的,
这才符合代数基本定理要求。
考虑y=√x ,x属於正数,得两根 ±√x,
例如:√9,得±3。
考虑√-x,x属於正数,同样得两根 ±i√x。
例如:√-4,得±2i。
所以开平方根函数为二值函数,
考虑n次根号x,x属於复数,由棣美弗 de Moivre 公式得n个根
此说明了开根号函数为多值函数。
这边滥用符号,应该用极座标表示z=r e^iθ,√z应该写成z^1/2 才是,
bbs介面,数学符号太难表示了。
w=f(z)
可不可能把多值函数变成正常函数,1对1或多对1
黎曼解决了此问题,把多值函数给单值化,他把定义域z平面给扩大
考虑所谓的单值化曲面,i.e.黎曼曲面 Riemann surface,
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/黎曼曲面
以函数 w=√z 为例,
只取一片高斯复平面(定义域 z平面),会得到2值函数
那拿2片高斯复平面呢!
2片一上一下,各自切开负x轴,见wiki的图
上片切口的上侧跟下片切口的下侧黏在一起,
上片切口的下侧跟下片切口的上侧黏在一起。
2叶曲面 1对1 且 onto 到值域,复w平面上
also see
Needham:visual complex analysis 2023,
Needham:复分析可视化方法 第2版,齐民友译 2021 第2.6节
Springer:Riemann surface,ch.1
Shabat 沙巴特:复分析导论 第1卷(2011)第3.10节
Mathews,Walker(1970)mathematical methods of physics,p473~
物理上例子:Einstein-Rosen bridge
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/tj/虫洞#度规
把 Schwarzschild metric 做变数变换
u^2=r-2m 这步骤
https://www.changhai.org/articles/science/physics/energy_condition/wormhole_1.php#footnotes
"Einstein 和 Rosen 通过本质上是将黑洞外部区域覆盖2次的特殊坐标变换出的所谓
“桥梁”, 其实只是坐标缺陷带来的幻像,......"
※ 编辑: topstr (36.227.125.74 台湾), 07/29/2025 09:59:19
1F:推 wallowes : log Z啊,用brunch来区分principal brunch是 08/08 19:26
2F:→ wallowes : -π<θ<=π 08/08 19:27