作者freePrester (Prester)
看板Math
標題Re: [中學] 三角形線段長問題
時間Mon Jun 9 07:37:28 2025
假設所求直線交 AB 於 P 、交 BC 於 Q ，得 PBQ 為三角形。
令 BP = x , BQ = y
x y 1
則 x+y = 36 , ---- * ---- = ---
18 30 2
____ ___
解得 x = 18 - 3 / 6 ， y = 18 + 3 / 6
V V
____
故 AP = 3 / 6 ，且 角A 為直角
V
2 2 2
得 CP = AC + AP = 630
----
若所求直線交 AB 於 P 、交 AC 於 Q，同上方法
令 AP = x 、 AQ = y ，
x y 1
則 x+y = 36 ， ---- * ---- = ---
18 24 2
____ ____
解得 x = 18 - 6 / 3 ， y = 18 + 6 / 3
V V
但 y > 24 = AC 不合。
※ 引述《bernard0929 (笨熊康誥)》之銘言：
: 題目來源：2024澳洲AMC中學中級卷#30
: 英文原題：
: A triangle, △ABC, has sides AB = 18, AC = 24, and BC = 30.
: Point P is on side AB and a line is drawn through P
: so that half of the perimeter of △ABC lies on each side of the line
: and half of the area of △ABC lies on each side of the line.
: What is the square of the distance CP?
: 主辦單位中文翻譯：
: 在三角形ABC中， AB=18，AC=24，BC=30。
: 點 P 位於 AB 邊上，過點 P 作一條直線。
: 這條直線將 △ABC 的周長與面積平分。
: 請問 CP 長度的平方是什麼？
: 參考答案：６３０
: 因學生只有國中程度，還沒接觸三角函數與海龍公式；
: 目前想以勾股定理及設未知數求解，無法正確得到答案。
: 再麻煩各位指點，不勝感激，謝謝大家。
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1F：→ Ricestone : 啊對喔，直接算三角形面積就好了 06/09 08:07
2F：→ musicbox810 : BQ的Q是哪裡? 06/09 11:34
3F：→ musicbox810 : 請問怎麼知道線的另一端是落在BC還是AC上? 06/09 11:39
4F：→ Ricestone : 可以用同樣算法算，不合（大的會超過24） 06/09 11:50
5F：→ Ricestone : 432就是這個不合情況時的答案 06/09 11:54
6F：→ Ricestone : 欸好像不對 反正不合就是了 06/09 11:59
7F：→ freePrester : 忘了寫 Q 在BC 上 06/09 12:01
8F：→ musicbox810 : 不懂為什麼會不合？ 06/09 12:41
9F：→ Ricestone : 因為AC只有24 代表那樣的Q是在三角形外面 06/09 12:43
我補上直線交在兩邊的結果了
※ 編輯: freePrester (60.250.88.181 臺灣), 06/09/2025 13:01:30
10F：→ Ricestone : 喔可能是誤會同樣算法的意思，是同樣意思但算式不 06/09 12:57
11F：→ Ricestone : 一樣，所以結果不同 06/09 12:57
12F：→ Ricestone : Q落在AC上的話用三角形面積是得到xy=18*24/2 06/09 12:59
13F：→ musicbox810 : 謝謝，了解了 06/10 11:48