作者freePrester (Prester)
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标题Re: [中学] 三角形线段长问题
时间Mon Jun 9 07:37:28 2025
假设所求直线交 AB 於 P 、交 BC 於 Q ，得 PBQ 为三角形。
令 BP = x , BQ = y
x y 1
则 x+y = 36 , ---- * ---- = ---
18 30 2
____ ___
解得 x = 18 - 3 / 6 ， y = 18 + 3 / 6
V V
____
故 AP = 3 / 6 ，且 角A 为直角
V
2 2 2
得 CP = AC + AP = 630
----
若所求直线交 AB 於 P 、交 AC 於 Q，同上方法
令 AP = x 、 AQ = y ，
x y 1
则 x+y = 36 ， ---- * ---- = ---
18 24 2
____ ____
解得 x = 18 - 6 / 3 ， y = 18 + 6 / 3
V V
但 y > 24 = AC 不合。
※ 引述《bernard0929 (笨熊康诰)》之铭言：
: 题目来源：2024澳洲AMC中学中级卷#30
: 英文原题：
: A triangle, △ABC, has sides AB = 18, AC = 24, and BC = 30.
: Point P is on side AB and a line is drawn through P
: so that half of the perimeter of △ABC lies on each side of the line
: and half of the area of △ABC lies on each side of the line.
: What is the square of the distance CP?
: 主办单位中文翻译：
: 在三角形ABC中， AB=18，AC=24，BC=30。
: 点 P 位於 AB 边上，过点 P 作一条直线。
: 这条直线将 △ABC 的周长与面积平分。
: 请问 CP 长度的平方是什麽？
: 参考答案：６３０
: 因学生只有国中程度，还没接触三角函数与海龙公式；
: 目前想以勾股定理及设未知数求解，无法正确得到答案。
: 再麻烦各位指点，不胜感激，谢谢大家。
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1F：→ Ricestone : 啊对喔，直接算三角形面积就好了 06/09 08:07
2F：→ musicbox810 : BQ的Q是哪里? 06/09 11:34
3F：→ musicbox810 : 请问怎麽知道线的另一端是落在BC还是AC上? 06/09 11:39
4F：→ Ricestone : 可以用同样算法算，不合（大的会超过24） 06/09 11:50
5F：→ Ricestone : 432就是这个不合情况时的答案 06/09 11:54
6F：→ Ricestone : 欸好像不对 反正不合就是了 06/09 11:59
7F：→ freePrester : 忘了写 Q 在BC 上 06/09 12:01
8F：→ musicbox810 : 不懂为什麽会不合？ 06/09 12:41
9F：→ Ricestone : 因为AC只有24 代表那样的Q是在三角形外面 06/09 12:43
我补上直线交在两边的结果了
※ 编辑: freePrester (60.250.88.181 台湾), 06/09/2025 13:01:30
10F：→ Ricestone : 喔可能是误会同样算法的意思，是同样意思但算式不 06/09 12:57
11F：→ Ricestone : 一样，所以结果不同 06/09 12:57
12F：→ Ricestone : Q落在AC上的话用三角形面积是得到xy=18*24/2 06/09 12:59
13F：→ musicbox810 : 谢谢，了解了 06/10 11:48