作者bernard0929 (笨熊康誥)
看板Math
標題[中學] 三角形線段長問題
時間Mon Jun 9 01:28:08 2025
題目來源：2024澳洲AMC中學中級卷#30
英文原題：
A triangle, △ABC, has sides AB = 18, AC = 24, and BC = 30.
Point P is on side AB and a line is drawn through P
so that half of the perimeter of △ABC lies on each side of the line
and half of the area of △ABC lies on each side of the line.
What is the square of the distance CP?
主辦單位中文翻譯：
在三角形ABC中， AB=18，AC=24，BC=30。
點 P 位於 AB 邊上，過點 P 作一條直線。
這條直線將 △ABC 的周長與面積平分。
請問 CP 長度的平方是什麼？
參考答案：６３０
因學生只有國中程度，還沒接觸三角函數與海龍公式；
目前想以勾股定理及設未知數求解，無法正確得到答案。
再麻煩各位指點，不勝感激，謝謝大家。
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1F：→ Ricestone : 直線沒有其他要求的話，無論P在哪裡都能找到滿足平 06/09 02:27
2F：→ Ricestone : 分面積的直線（通過重心） 喔不對我突然想錯了 06/09 02:29
3F：→ Ricestone : 可以用直角座標弄通過重心座標與P(x,0)的直線的截 06/09 02:39
4F：→ Ricestone : 距來算嗎？ 06/09 02:39
5F：→ Ricestone : 過程只用到二元一次方程式以及一元二次方程式 06/09 02:53
6F：→ Ricestone : 啊不對，雖然截距能算交AC的，但應該交BC的樣子 06/09 02:58
7F：→ Ricestone : 這樣算起來麻煩許多 06/09 02:59
8F：→ Ricestone : 喔不對我根本想錯了，過重心不一定平分三角形面積 06/09 04:27
9F：→ Ricestone : 如果先知道面積等分線以及周長平分線的畫法， 06/09 05:44
10F：→ Ricestone : 最後可以用相似三角形得到9:(18+x)=(9-x):(12-x) 06/09 05:46
11F：→ Ricestone : 整理可得x^2=54 但好難啊 06/09 05:46
12F：→ Ricestone : 都以A點為基準，PA長度為x 主要麻煩在面積等分線 06/09 05:49
13F：→ Ricestone : 畫法是過AB中點M且與CP平行之直線MQ交BC於Q，則PQ 06/09 05:53
14F：→ Ricestone : 就是面積等分線（蝶形CQPM兩個三角形等面積） 06/09 05:54
15F：→ Ricestone : 再配合周長平分線可知BQ=18+x CQ=12-x MQ=9-x 06/09 06:03
16F：→ Ricestone : 上面不是MQ，是MP 06/09 06:03
17F：→ freePrester : 為什麼我算答案是 432… 06/09 07:32
18F：→ freePrester : 沒事，我看錯了 06/09 07:33