作者bernard0929 (笨熊康诰)
看板Math
标题[中学] 三角形线段长问题
时间Mon Jun 9 01:28:08 2025
题目来源：2024澳洲AMC中学中级卷#30
英文原题：
A triangle, △ABC, has sides AB = 18, AC = 24, and BC = 30.
Point P is on side AB and a line is drawn through P
so that half of the perimeter of △ABC lies on each side of the line
and half of the area of △ABC lies on each side of the line.
What is the square of the distance CP?
主办单位中文翻译：
在三角形ABC中， AB=18，AC=24，BC=30。
点 P 位於 AB 边上，过点 P 作一条直线。
这条直线将 △ABC 的周长与面积平分。
请问 CP 长度的平方是什麽？
参考答案：６３０
因学生只有国中程度，还没接触三角函数与海龙公式；
目前想以勾股定理及设未知数求解，无法正确得到答案。
再麻烦各位指点，不胜感激，谢谢大家。
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1F：→ Ricestone : 直线没有其他要求的话，无论P在哪里都能找到满足平 06/09 02:27
2F：→ Ricestone : 分面积的直线（通过重心） 喔不对我突然想错了 06/09 02:29
3F：→ Ricestone : 可以用直角座标弄通过重心座标与P(x,0)的直线的截 06/09 02:39
4F：→ Ricestone : 距来算吗？ 06/09 02:39
5F：→ Ricestone : 过程只用到二元一次方程式以及一元二次方程式 06/09 02:53
6F：→ Ricestone : 啊不对，虽然截距能算交AC的，但应该交BC的样子 06/09 02:58
7F：→ Ricestone : 这样算起来麻烦许多 06/09 02:59
8F：→ Ricestone : 喔不对我根本想错了，过重心不一定平分三角形面积 06/09 04:27
9F：→ Ricestone : 如果先知道面积等分线以及周长平分线的画法， 06/09 05:44
10F：→ Ricestone : 最後可以用相似三角形得到9:(18+x)=(9-x):(12-x) 06/09 05:46
11F：→ Ricestone : 整理可得x^2=54 但好难啊 06/09 05:46
12F：→ Ricestone : 都以A点为基准，PA长度为x 主要麻烦在面积等分线 06/09 05:49
13F：→ Ricestone : 画法是过AB中点M且与CP平行之直线MQ交BC於Q，则PQ 06/09 05:53
14F：→ Ricestone : 就是面积等分线（蝶形CQPM两个三角形等面积） 06/09 05:54
15F：→ Ricestone : 再配合周长平分线可知BQ=18+x CQ=12-x MQ=9-x 06/09 06:03
16F：→ Ricestone : 上面不是MQ，是MP 06/09 06:03
17F：→ freePrester : 为什麽我算答案是 432… 06/09 07:32
18F：→ freePrester : 没事，我看错了 06/09 07:33