作者tzhau (生命中無法承受之輕)
看板Math
標題[微積] 三次函數之切線數
時間Sat May 24 15:05:37 2025
設三次多項式函數 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a不為0 , b^2-3ac>0 ,
設P為平面上任一點(可在函數上也可在函數外)
則過P對三次函數做切線的切線數有幾種可能? 又此時P會在何處?
我的想法是可能有一條、兩條與三條，但無法嚴謹證明
且麻煩的是也無法說明當切線有一條兩條與三條的時候P會在哪裡
謝謝
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1F：→ mantour : 平面上的線性變換不改變圖形之間的相切關係，所以 05/24 16:37
2F：→ mantour : 只要證明一種3次曲線（例如y=x^3)就可以了，然後求 05/24 16:37
3F：→ mantour : 出的P點範圍再用對應的線性變換換過去 05/24 16:37
4F：→ mantour : 等下我錯了 再想一下 05/24 16:48
5F：→ mantour : 應該沒問題 可以先對x做變數變換x=x'+b/3a, 化為 y 05/24 17:08
6F：→ mantour : =x'^3+px'+q, 再對y做變換y'=y-px'-q，就化為y'=x' 05/24 17:08
7F：→ mantour : ^3，兩個變換都不會改變切線關係。 05/24 17:08
8F：→ mantour : 更正： x=x'-b/(3a) 05/24 17:10
9F：→ mantour : 而y=x^3過任意點P的切線數是應該是：y（y-x^3)<0時 05/24 17:19
10F：→ mantour : 有兩條，其他時候一條，應該不會有3條。 05/24 17:19
11F：推 LPH66 : y' 變換改變了 b^2-3ac>0 的條件了吧? 05/25 05:53
12F：→ mantour : 對，這個變換其實就是把反曲點的切線當成x軸，P點 05/25 07:27
13F：→ mantour : 相對這個新軸的位置跟切線數的關係不變 05/25 07:27
14F：→ mantour : 結論b^2-3ac>0或<0都適用 05/25 07:28
17F：→ tzhau : 感謝有回覆的版友們 05/25 17:11
18F：→ mantour : 我又錯了，P夾在反區點切線和圖形之間的區域有三個 05/25 17:48
19F：→ mantour : 切點，在線上或反曲點切線上（除了反區點之外）有 05/25 17:48
20F：→ mantour : 兩個，在曲線及反曲點切線上方或下方和反曲點是一 05/25 17:48
21F：→ mantour : 個才對 05/25 17:48