作者tzhau (生命中无法承受之轻)
看板Math
标题[微积] 三次函数之切线数
时间Sat May 24 15:05:37 2025
设三次多项式函数 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a不为0 , b^2-3ac>0 ,
设P为平面上任一点(可在函数上也可在函数外)
则过P对三次函数做切线的切线数有几种可能? 又此时P会在何处?
我的想法是可能有一条、两条与三条，但无法严谨证明
且麻烦的是也无法说明当切线有一条两条与三条的时候P会在哪里
谢谢
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1F：→ mantour : 平面上的线性变换不改变图形之间的相切关系，所以 05/24 16:37
2F：→ mantour : 只要证明一种3次曲线（例如y=x^3)就可以了，然後求 05/24 16:37
3F：→ mantour : 出的P点范围再用对应的线性变换换过去 05/24 16:37
4F：→ mantour : 等下我错了 再想一下 05/24 16:48
5F：→ mantour : 应该没问题 可以先对x做变数变换x=x'+b/3a, 化为 y 05/24 17:08
6F：→ mantour : =x'^3+px'+q, 再对y做变换y'=y-px'-q，就化为y'=x' 05/24 17:08
7F：→ mantour : ^3，两个变换都不会改变切线关系。 05/24 17:08
8F：→ mantour : 更正： x=x'-b/(3a) 05/24 17:10
9F：→ mantour : 而y=x^3过任意点P的切线数是应该是：y（y-x^3)<0时 05/24 17:19
10F：→ mantour : 有两条，其他时候一条，应该不会有3条。 05/24 17:19
11F：推 LPH66 : y' 变换改变了 b^2-3ac>0 的条件了吧? 05/25 05:53
12F：→ mantour : 对，这个变换其实就是把反曲点的切线当成x轴，P点 05/25 07:27
13F：→ mantour : 相对这个新轴的位置跟切线数的关系不变 05/25 07:27
14F：→ mantour : 结论b^2-3ac>0或<0都适用 05/25 07:28
17F：→ tzhau : 感谢有回覆的版友们 05/25 17:11
18F：→ mantour : 我又错了，P夹在反区点切线和图形之间的区域有三个 05/25 17:48
19F：→ mantour : 切点，在线上或反曲点切线上（除了反区点之外）有 05/25 17:48
20F：→ mantour : 两个，在曲线及反曲点切线上方或下方和反曲点是一 05/25 17:48
21F：→ mantour : 个才对 05/25 17:48