作者saltlake (SaltLake)
看板Math
標題[微積] 對連加或連乘的項數微分求導數
時間Sun May 18 16:38:00 2025
假如目標函數以連加或者連乘的方式表示，把目標函數對
項數作微分得到的導函數如何求取?
f(n) = sum( g_i(x), i = 1 to n ) => df/dn = ?
f(n) = product( g_i(x), i = 1 to n ) => df/dn = ?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.195.44 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1747557482.A.67C.html
1F：推 arrenwu : 你這邊使用的微分定義是？ 05/18 17:29
2F：→ AquaCute : 想想f(n)在n不為整數時如何定義 05/18 19:32
求此導函數旨在判斷目標級數是否隨項數增加而單調遞增或者遞減。
記得數列或級數的某些特性似乎可以用微積分做近似工具?
※ 編輯: saltlake (220.136.195.44 臺灣), 05/19/2025 05:18:34
3F：→ yhliu : f_n(x) = sum( g_i(x), i=1 to n ), df_n(x)/dx 的 05/19 05:57
4F：→ yhliu : 計算只是加法律的延伸. 至於 df_n/dn, 無意義。既是 05/19 05:59
5F：→ yhliu : 加總或連乘，n 是正整數，談何微分？ 05/19 06:00
6F：→ yhliu : 連乘的微分，同樣是乘法律的擴充而已。 05/19 06:01
如前述， n 是正整數，談不上微分。
惟如前述，主旨是:
把某函數連加或連乘是否讓這連加或連乘的結果始終遞增或者遞減，抑或是
會有更複雜的變化。
或者這麼說，倘自變數是實數，那就可以微分。既然正整數只是正實數的部
分離散點，那麼觀察正實數的函數圖形變化，應該可以推斷函數僅取證整數時
的離散點的變化。
例如:
f(x) = x^2 是平滑可微分的曲線
f(n) = n^2 則只是一組離散的點
但是應能從 f(x) 的圖形推斷 f(n) 的點散布狀況。
※ 編輯: saltlake (220.136.195.44 臺灣), 05/19/2025 07:29:25
7F：推 sunev : 先確定f(0.5)要如何定義再來討論微分吧 05/19 11:33
8F：推 tzhau : 考慮對所有正整數n, f(n+1)/f(n) 大於等於1 ？ 05/19 13:37
9F：推 LPH66 : 你要的東西叫做差分 05/19 20:15
用差分處理級數和頗直觀，但連乘呢?
※ 編輯: saltlake (220.136.195.44 臺灣), 05/19/2025 23:20:55
11F：→ mantour : 連乘可能類似 d log f/ dn = 1/f df/dn 等號左邊可 05/20 01:23
12F：→ mantour : 以變成差分的形式 05/20 01:23