作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题[微积] 对连加或连乘的项数微分求导数
时间Sun May 18 16:38:00 2025
假如目标函数以连加或者连乘的方式表示，把目标函数对
项数作微分得到的导函数如何求取?
f(n) = sum( g_i(x), i = 1 to n ) => df/dn = ?
f(n) = product( g_i(x), i = 1 to n ) => df/dn = ?
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1F：推 arrenwu : 你这边使用的微分定义是？ 05/18 17:29
2F：→ AquaCute : 想想f(n)在n不为整数时如何定义 05/18 19:32
求此导函数旨在判断目标级数是否随项数增加而单调递增或者递减。
记得数列或级数的某些特性似乎可以用微积分做近似工具?
※ 编辑: saltlake (220.136.195.44 台湾), 05/19/2025 05:18:34
3F：→ yhliu : f_n(x) = sum( g_i(x), i=1 to n ), df_n(x)/dx 的 05/19 05:57
4F：→ yhliu : 计算只是加法律的延伸. 至於 df_n/dn, 无意义。既是 05/19 05:59
5F：→ yhliu : 加总或连乘，n 是正整数，谈何微分？ 05/19 06:00
6F：→ yhliu : 连乘的微分，同样是乘法律的扩充而已。 05/19 06:01
如前述， n 是正整数，谈不上微分。
惟如前述，主旨是:
把某函数连加或连乘是否让这连加或连乘的结果始终递增或者递减，抑或是
会有更复杂的变化。
或者这麽说，倘自变数是实数，那就可以微分。既然正整数只是正实数的部
分离散点，那麽观察正实数的函数图形变化，应该可以推断函数仅取证整数时
的离散点的变化。
例如:
f(x) = x^2 是平滑可微分的曲线
f(n) = n^2 则只是一组离散的点
但是应能从 f(x) 的图形推断 f(n) 的点散布状况。
※ 编辑: saltlake (220.136.195.44 台湾), 05/19/2025 07:29:25
7F：推 sunev : 先确定f(0.5)要如何定义再来讨论微分吧 05/19 11:33
8F：推 tzhau : 考虑对所有正整数n, f(n+1)/f(n) 大於等於1 ？ 05/19 13:37
9F：推 LPH66 : 你要的东西叫做差分 05/19 20:15
用差分处理级数和颇直观，但连乘呢?
※ 编辑: saltlake (220.136.195.44 台湾), 05/19/2025 23:20:55
11F：→ mantour : 连乘可能类似 d log f/ dn = 1/f df/dn 等号左边可 05/20 01:23
12F：→ mantour : 以变成差分的形式 05/20 01:23