※ 引述《chun10396974 (娜嗲希摳老公)》之銘言： : 手機排版請見諒 : Asymmetrical Numeral System中提到b unique的滿足條件是兩個區間符合這三個關係 : http://i.imgur.com/F4HVpyl.jpg 我下面會分別證明兩個命題 (下面 B 跟 L 我都用大寫) I = {L, L+1, L+2, ... BL-1} 命題1： 如若x > BL-1 , 則存在唯一正整數k 使得 floor(x/B^k) 屬於 I 命題1的證明相對直觀 我們可以把比 BL-1 大的正整數們， 分成 [LB, LB^2-1], [LB^2, LB^3-1], ...... [LB^k, LB^(k+1)-1] . .... 這幾個區間，相互之間都沒有重疊， 所以 x 一定在某個區間 [LB^k, LB^(k+1)-1] 裡面 而在這個區間裡面，因為 LB^k <= x <= LB^(k+1)-1， 所以 L <= x/B^k <= LB - 1/B^k， floor(x/B^k) 必然在 I 裡頭 命題2： 如果 x < L， 並任意給定一個數列 {d[i]}，此數列的任何一項都在 [0, B-1] 中。 定義一個新的數列 A[n] ： A[0] = x A[n+1] = BA[n] +d[n] ,for all n >= 1 則存在唯一正整數 k 使得 A[k] 在 I 裡頭 (你可能覺得這命題好像被我寫得面目全非， 但原本寫的那個 xB^k + d[1]B^(k-1) + .... + d[k] 其實就是 A[k]) 首先呢，我們可以看出 A[n+1] - A[n] = (B-1)A[n] + d[n] > 0， 數列 A[n] 是個嚴格遞增的數列， 所以只要 n 夠大，A[n]會超過所有 I 裡面的數。 但這個數列又有一個性質，就是 如果 A[n] < L, 則 A[n+1] <= BL-1 也就是說，如果 A[n] 比 I 裡面所有的數都小， 那 A[n+1] 不可能比 I 裡面所有的數都大 證明這個也不難， A[n+1] = B*A[n] + d[n] <= B*(L-1) + d[n] (A[n] <= L-1) <= B*(L-1) + B-1 (d[n] <= B-1) <= LB - 1 整理下來就是：(1) A[0] = x 比 I 裡面的數都小。 (2) A[n] 比 I裡面的數都小的時候， A[n+1] 不可能比 I 裡面的數都大 (3) 因為 A[n] 嚴格地增， 所以會有某個 n 使得 A[n] 比 I 裡面所有的數都大 (1),(2),(3) => 存在某個正整數 k 使得 A[k] 落在 I 裡面 下一步就是證明： 如果 L <= A[k] <= LB-1，則 A[k-1] < L 且 A[k+1] > LB-1 這個直接計算就有了 -- 早川秋看到的未來 https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg https://i.imgur.com/SXPvXGe.jpg --

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