※ 引述《chun10396974 (娜嗲希抠老公)》之铭言： : 手机排版请见谅 : Asymmetrical Numeral System中提到b unique的满足条件是两个区间符合这三个关系 : http://i.imgur.com/F4HVpyl.jpg 我下面会分别证明两个命题 (下面 B 跟 L 我都用大写) I = {L, L+1, L+2, ... BL-1} 命题1： 如若x > BL-1 , 则存在唯一正整数k 使得 floor(x/B^k) 属於 I 命题1的证明相对直观 我们可以把比 BL-1 大的正整数们， 分成 [LB, LB^2-1], [LB^2, LB^3-1], ...... [LB^k, LB^(k+1)-1] . .... 这几个区间，相互之间都没有重叠， 所以 x 一定在某个区间 [LB^k, LB^(k+1)-1] 里面 而在这个区间里面，因为 LB^k <= x <= LB^(k+1)-1， 所以 L <= x/B^k <= LB - 1/B^k， floor(x/B^k) 必然在 I 里头 命题2： 如果 x < L， 并任意给定一个数列 {d[i]}，此数列的任何一项都在 [0, B-1] 中。 定义一个新的数列 A[n] ： A[0] = x A[n+1] = BA[n] +d[n] ,for all n >= 1 则存在唯一正整数 k 使得 A[k] 在 I 里头 (你可能觉得这命题好像被我写得面目全非， 但原本写的那个 xB^k + d[1]B^(k-1) + .... + d[k] 其实就是 A[k]) 首先呢，我们可以看出 A[n+1] - A[n] = (B-1)A[n] + d[n] > 0， 数列 A[n] 是个严格递增的数列， 所以只要 n 够大，A[n]会超过所有 I 里面的数。 但这个数列又有一个性质，就是 如果 A[n] < L, 则 A[n+1] <= BL-1 也就是说，如果 A[n] 比 I 里面所有的数都小， 那 A[n+1] 不可能比 I 里面所有的数都大 证明这个也不难， A[n+1] = B*A[n] + d[n] <= B*(L-1) + d[n] (A[n] <= L-1) <= B*(L-1) + B-1 (d[n] <= B-1) <= LB - 1 整理下来就是：(1) A[0] = x 比 I 里面的数都小。 (2) A[n] 比 I里面的数都小的时候， A[n+1] 不可能比 I 里面的数都大 (3) 因为 A[n] 严格地增， 所以会有某个 n 使得 A[n] 比 I 里面所有的数都大 (1),(2),(3) => 存在某个正整数 k 使得 A[k] 落在 I 里面 下一步就是证明： 如果 L <= A[k] <= LB-1，则 A[k-1] < L 且 A[k+1] > LB-1 这个直接计算就有了 -- 早川秋看到的未来 https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg https://i.imgur.com/SXPvXGe.jpg --

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