作者sarsenwen (sarsenwen)
看板Math
標題[幾何] 四維空間的突發奇想
時間Wed Mar 26 10:37:46 2025
https://i.imgur.com/uPciTEc.png
右上的1區
假設有一個三維球體殼 x^2+y^2+z^2=64
球心一直在z軸上沿著z軸移動
所以例如在z=6的平面上
假設此平面世界有個數學家
他描述這個物體 就只能用 x,y 這兩個變數
因為他還沒有z軸的概念
所以就是 0<(x^2+y^2)<64 一組隨著時間變大在變小的圓
而且這個圓是憑空出現而且消失
在三維空間來看 球體根本沒有消失
只是球體經過z=6平面
左邊的2區
假如有個四維球體殼 半徑也是8
因為四維具有四個自由度
多了m軸 m軸要跟x,y,z軸都垂直
所以無論如何都畫不出來
但還是能用四軸座標系統來表示此四維球的殼
x^2+y^2+z^2+m^2=64
然後雖然四軸座標系統畫不出來
但是在 m=0 的三維空間可以單獨畫出來
類似上面那個z=6平面 單獨從三維空間抽一個平面出來
這個四維球殼的球心沿著m軸移動
在球心移動到 -8>m>8 的區間
在m=0的三維空間的數學家會看到
一個球體殼憑空在原點出現
此球體殼半徑從0開始變大到最大值8
這時是四維球心也剛好停在m=0時
然後開始縮小直到消失
整個過程對應到四維球體殼的球心
從m=(-8)到m=8的移動過程
右下的3區
是在模擬從1維的視角
如何去看待3維的球體
因為跨了兩個維度
所以訊息丟失實在太大
三維球體的所有資訊 在經過z=6平面時
二維平面可以完全記錄下來
但是一維的不行
所以四維球體的所有資訊
可以在經過某一個三維空間中
被完整的紀錄下來
大概是這樣吧
總之就是很閒就對了XD
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1F：→ mantour : 你用一系列的2維截面去描述3維的物體, 實際上不就 03/26 15:19
2F：→ mantour : 是用了3個參數嗎 03/26 15:20
3F：→ mantour : 第三個參數就是描述截面的變化的參數, 可以是時間或 03/26 15:23
4F：→ mantour : 截面的編號等等 03/26 15:24
5F：→ sarsenwen : 那個z=6的平面 就只能用x,y 這兩個參數去描述平面上 03/26 19:49
6F：→ sarsenwen : 的圓 所以還是兩個 其實是用來類推三維中出現的球體 03/26 19:50
7F：→ sarsenwen : 用到第三個參數去描述圓的變化 是一種紀錄圓的資訊 03/26 19:54
8F：→ sarsenwen : 的方式 但是這個參數 跟x,y軸這種在平面上或是空間 03/26 19:54
9F：→ sarsenwen : 中表示位置的參數 有本質上的區別 03/26 19:54
10F：→ Ricestone : 同樣用了三個參數的意思舉例來說就是極座標跟直角 03/26 20:02
11F：→ Ricestone : 座標都一樣能表示平面上的東西，但一樣都是用了兩個 03/26 20:03
12F：→ Ricestone : 參數 通常幾維的東西就需要幾個維度（參數）表示 03/26 20:04
13F：→ Ricestone : 又例如把平面上的線段用參數t寫成參數式x(t)，你其 03/26 20:08
14F：→ Ricestone : 實就是用t跟x(.)這兩個東西去描述 你這篇所講的就 03/26 20:09
15F：→ Ricestone : 類似這樣 03/26 20:09
16F：→ Ricestone : 講線段有可能誤解，就說曲線吧 03/26 20:11
17F：推 mantour : 其實如果拿一條直線水平掃過xy平面的一個範圍（比 03/26 21:32
18F：→ mantour : 如x=-R到R)，然後每次向上移動一點點再掃一次，這 03/26 21:32
19F：→ mantour : 樣s型掃過整顆球，只要每次向上的step夠小，也可以 03/26 21:32
20F：→ mantour : 無限接近的用這條線上的長度的變化去記錄球的形狀 03/26 21:32
21F：→ mantour : ，這樣說起來是不是用一維也可以描述三維的資訊 03/26 21:32
22F：→ mantour : 我還可以再修改一下,用平行z軸的直線, 直線跟xy平面 03/26 22:00
23F：→ mantour : 的交點沿著x=sin(t), y=sin(根號2 t) 移動, 這樣 03/26 22:00
24F：→ mantour : 直線就會經過 x=-1~1, y=-1~1 矩形內的每一點 03/26 22:02
25F：→ mantour : 那就可以用這條直線上的變化去描述整個柱體內的3D 03/26 22:03
26F：→ mantour : 資訊 03/26 22:03
27F：推 mantour : 而且既然R^n跟R^1可以1-1對應，那任何n維空間的函 03/27 08:16
28F：→ mantour : 數，應該都可以把n維空間的定義域對應到數線上的點 03/27 08:16
29F：→ mantour : ，變成一維函數 03/27 08:16
30F：→ sarsenwen : 二維平面是利用 類似積分的方式 紀錄下三維物體體 03/27 17:02
31F：→ sarsenwen : 經過平面時 所截的圓 因為平面是兩個自由度無限延 03/27 17:02
32F：→ sarsenwen : 伸 所以三維的物體 只要經過這個負責紀錄的二維平 03/27 17:02
33F：→ sarsenwen : 面 內部每一個點 都會被紀錄下來 很像在做斷層掃描 03/27 17:02
34F：→ sarsenwen : 。 一維的線雖然也無限延伸 但是只能紀錄下切過這 03/27 17:02
35F：→ sarsenwen : 個球體的圓 類似拿鋼線剖開一個西瓜 鋼線紀錄到的 03/27 17:02
36F：→ sarsenwen : 是剖面上每一個點 所以三維物體對於一維來說 只經 03/27 17:02
37F：→ sarsenwen : 過一次的話 訊息無法被完整紀錄下來 但是經過二維 03/27 17:02
38F：→ sarsenwen : 平面 只需要一次就夠了 03/27 17:02
39F：→ sarsenwen : 然後用這個概念 推廣到四維物體 四維物體 經過某一 03/27 17:02
40F：→ sarsenwen : 個三維空間時 四維物體所有的資訊 在三維空間中 被 03/27 17:02
41F：→ sarsenwen : 完整的紀錄下來 相當於用三維空間 對四維物體做斷 03/27 17:02
42F：→ sarsenwen : 層掃描 但是二維平面 對於四維來說少了兩個維度 所 03/27 17:02
43F：→ sarsenwen : 以只能紀錄類似西瓜剖面的部分訊息 這應該也是在人 03/27 17:02
44F：→ sarsenwen : 類很難想象四維物體的原因 因為人類的視覺 本質是 03/27 17:02
45F：→ sarsenwen : 二維的 視網膜是一個曲面 曲面展開就是二維的 用紙 03/27 17:02
46F：→ sarsenwen : 顯示器等也都是一個平面 03/27 17:02
47F：→ sarsenwen : 如果四維生物存在的話 同時他們也會做斷層掃描的話 03/27 17:13
48F：→ sarsenwen : 每一張照片就是三維的影像吧 03/27 17:13
49F：→ sarsenwen : 我還想到一個很有趣的概念 就是二維世界如果發展電 03/27 17:20
50F：→ sarsenwen : 磁學 在一個平面上 有一個平行x軸往x軸正向移動 03/27 17:20
51F：→ sarsenwen : 的正電荷 經過一個平行y軸正方向的磁場 這個正電荷 03/27 17:20
52F：→ sarsenwen : 受到有z軸方向的洛倫茲力 離開這個平面 但因為此平 03/27 17:20
53F：→ sarsenwen : 面物理學家 沒有z軸的概念 所以他們的電磁學定律就 03/27 17:20
54F：→ sarsenwen : 是 “正電荷經過有垂直其移動方向的磁場時 此正電 03/27 17:20
55F：→ sarsenwen : 荷會消失” XD 03/27 17:20
https://i.imgur.com/LMtjzzV.png
這張圖展示了
左邊是 2維的人想幫助1維的人理解圓的概念
但是1維的人 只有一個自由度 前or後 所以難想像
於是2維的人就把 一段線 "彎曲" 成一個圓
這個1維的人 就能在這個圓周上 "體驗" 一下2維的世界
就是他一直往同一個方向移動 會一直回到原來的點
這在他原本的一維世界是不會發生的現象
在這個圓上 他可以朝同一個方向移動無限遠 相當於繞無限多圈
中間是3維的人想幫助2維的人理解圓球的概念
但是2維的人 只有2個自由度 前後or左右 所以難想像
於是3維的人就把 一塊平面 "彎曲" 成一個圓球
這個2維的人 就能在這個圓球表面(曲面)上 "體驗" 一下3維的世界
就是他一直往不管朝任何方向一直前進 都會回到原來的點
這在他原本的二維世界是不會發生的現象
在這個圓球表面(曲面)上 他可以朝同一個方向移動無限遠
但就是無法離開這個3維空間中的曲面
右邊就是4維的？想幫助3維的人理解超球體的概念
但是3維的人 只有3個自由度 前後or左右or上下 所以難想像
於是4維的？就把 一部分的空間 "彎曲" 成一個4維空間中的超球體
這個3維的人 就能在這個超球體的超表面上 "體驗" 一下4維的世界
(這裡還是維持3維的人的視角 因為4維空間我不知道怎麼表示了)
就是他一直往同一個方向飛 都會飛回到原本的位置
這在他原本的三維世界是不會發生的現象
因為他是在超球體的超表面上 超表面是三維空間 是具有體積的
三維的人就可以在這個奇特的"彎曲"空間中一直任意飛
如果4維的？沒有幫忙他移回原本的正常空間
三維的人永遠飛不出這個超表面
不過如果這個超表面足夠大 例如
1維的人在一個足夠大的圓周上移動 他還沒走到原本的點就往回走
2維的人在一個足夠大的球面上移動 他還沒走到原本的位置就更改方向
3維的人在一個足夠大的超表面上移動 他還沒飛到原本的區域就更改方向
這些維度的人 都不會發現自己的世界 從高維來看是被"彎曲"過的
※ 編輯: sarsenwen (1.200.83.36 臺灣), 03/29/2025 09:10:34
56F：→ cmrafsts : 除了一維的都會發現，因為高斯曲率不一樣 03/31 16:09
57F：推 Bugquan : 這個其實是分辨的出來的，簡單講一個辦法，向量沿 03/31 16:31
58F：→ Bugquan : 著封閉曲線平移 03/31 16:31