作者sarsenwen (sarsenwen)
看板Math
标题[几何] 四维空间的突发奇想
时间Wed Mar 26 10:37:46 2025
https://i.imgur.com/uPciTEc.png
右上的1区
假设有一个三维球体壳 x^2+y^2+z^2=64
球心一直在z轴上沿着z轴移动
所以例如在z=6的平面上
假设此平面世界有个数学家
他描述这个物体 就只能用 x,y 这两个变数
因为他还没有z轴的概念
所以就是 0<(x^2+y^2)<64 一组随着时间变大在变小的圆
而且这个圆是凭空出现而且消失
在三维空间来看 球体根本没有消失
只是球体经过z=6平面
左边的2区
假如有个四维球体壳 半径也是8
因为四维具有四个自由度
多了m轴 m轴要跟x,y,z轴都垂直
所以无论如何都画不出来
但还是能用四轴座标系统来表示此四维球的壳
x^2+y^2+z^2+m^2=64
然後虽然四轴座标系统画不出来
但是在 m=0 的三维空间可以单独画出来
类似上面那个z=6平面 单独从三维空间抽一个平面出来
这个四维球壳的球心沿着m轴移动
在球心移动到 -8>m>8 的区间
在m=0的三维空间的数学家会看到
一个球体壳凭空在原点出现
此球体壳半径从0开始变大到最大值8
这时是四维球心也刚好停在m=0时
然後开始缩小直到消失
整个过程对应到四维球体壳的球心
从m=(-8)到m=8的移动过程
右下的3区
是在模拟从1维的视角
如何去看待3维的球体
因为跨了两个维度
所以讯息丢失实在太大
三维球体的所有资讯 在经过z=6平面时
二维平面可以完全记录下来
但是一维的不行
所以四维球体的所有资讯
可以在经过某一个三维空间中
被完整的纪录下来
大概是这样吧
总之就是很闲就对了XD
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1F：→ mantour : 你用一系列的2维截面去描述3维的物体, 实际上不就 03/26 15:19
2F：→ mantour : 是用了3个参数吗 03/26 15:20
3F：→ mantour : 第三个参数就是描述截面的变化的参数, 可以是时间或 03/26 15:23
4F：→ mantour : 截面的编号等等 03/26 15:24
5F：→ sarsenwen : 那个z=6的平面 就只能用x,y 这两个参数去描述平面上 03/26 19:49
6F：→ sarsenwen : 的圆 所以还是两个 其实是用来类推三维中出现的球体 03/26 19:50
7F：→ sarsenwen : 用到第三个参数去描述圆的变化 是一种纪录圆的资讯 03/26 19:54
8F：→ sarsenwen : 的方式 但是这个参数 跟x,y轴这种在平面上或是空间 03/26 19:54
9F：→ sarsenwen : 中表示位置的参数 有本质上的区别 03/26 19:54
10F：→ Ricestone : 同样用了三个参数的意思举例来说就是极座标跟直角 03/26 20:02
11F：→ Ricestone : 座标都一样能表示平面上的东西，但一样都是用了两个 03/26 20:03
12F：→ Ricestone : 参数 通常几维的东西就需要几个维度（参数）表示 03/26 20:04
13F：→ Ricestone : 又例如把平面上的线段用参数t写成参数式x(t)，你其 03/26 20:08
14F：→ Ricestone : 实就是用t跟x(.)这两个东西去描述 你这篇所讲的就 03/26 20:09
15F：→ Ricestone : 类似这样 03/26 20:09
16F：→ Ricestone : 讲线段有可能误解，就说曲线吧 03/26 20:11
17F：推 mantour : 其实如果拿一条直线水平扫过xy平面的一个范围（比 03/26 21:32
18F：→ mantour : 如x=-R到R)，然後每次向上移动一点点再扫一次，这 03/26 21:32
19F：→ mantour : 样s型扫过整颗球，只要每次向上的step够小，也可以 03/26 21:32
20F：→ mantour : 无限接近的用这条线上的长度的变化去记录球的形状 03/26 21:32
21F：→ mantour : ，这样说起来是不是用一维也可以描述三维的资讯 03/26 21:32
22F：→ mantour : 我还可以再修改一下,用平行z轴的直线, 直线跟xy平面 03/26 22:00
23F：→ mantour : 的交点沿着x=sin(t), y=sin(根号2 t) 移动, 这样 03/26 22:00
24F：→ mantour : 直线就会经过 x=-1~1, y=-1~1 矩形内的每一点 03/26 22:02
25F：→ mantour : 那就可以用这条直线上的变化去描述整个柱体内的3D 03/26 22:03
26F：→ mantour : 资讯 03/26 22:03
27F：推 mantour : 而且既然R^n跟R^1可以1-1对应，那任何n维空间的函 03/27 08:16
28F：→ mantour : 数，应该都可以把n维空间的定义域对应到数线上的点 03/27 08:16
29F：→ mantour : ，变成一维函数 03/27 08:16
30F：→ sarsenwen : 二维平面是利用 类似积分的方式 纪录下三维物体体 03/27 17:02
31F：→ sarsenwen : 经过平面时 所截的圆 因为平面是两个自由度无限延 03/27 17:02
32F：→ sarsenwen : 伸 所以三维的物体 只要经过这个负责纪录的二维平 03/27 17:02
33F：→ sarsenwen : 面 内部每一个点 都会被纪录下来 很像在做断层扫描 03/27 17:02
34F：→ sarsenwen : 。 一维的线虽然也无限延伸 但是只能纪录下切过这 03/27 17:02
35F：→ sarsenwen : 个球体的圆 类似拿钢线剖开一个西瓜 钢线纪录到的 03/27 17:02
36F：→ sarsenwen : 是剖面上每一个点 所以三维物体对於一维来说 只经 03/27 17:02
37F：→ sarsenwen : 过一次的话 讯息无法被完整纪录下来 但是经过二维 03/27 17:02
38F：→ sarsenwen : 平面 只需要一次就够了 03/27 17:02
39F：→ sarsenwen : 然後用这个概念 推广到四维物体 四维物体 经过某一 03/27 17:02
40F：→ sarsenwen : 个三维空间时 四维物体所有的资讯 在三维空间中 被 03/27 17:02
41F：→ sarsenwen : 完整的纪录下来 相当於用三维空间 对四维物体做断 03/27 17:02
42F：→ sarsenwen : 层扫描 但是二维平面 对於四维来说少了两个维度 所 03/27 17:02
43F：→ sarsenwen : 以只能纪录类似西瓜剖面的部分讯息 这应该也是在人 03/27 17:02
44F：→ sarsenwen : 类很难想象四维物体的原因 因为人类的视觉 本质是 03/27 17:02
45F：→ sarsenwen : 二维的 视网膜是一个曲面 曲面展开就是二维的 用纸 03/27 17:02
46F：→ sarsenwen : 显示器等也都是一个平面 03/27 17:02
47F：→ sarsenwen : 如果四维生物存在的话 同时他们也会做断层扫描的话 03/27 17:13
48F：→ sarsenwen : 每一张照片就是三维的影像吧 03/27 17:13
49F：→ sarsenwen : 我还想到一个很有趣的概念 就是二维世界如果发展电 03/27 17:20
50F：→ sarsenwen : 磁学 在一个平面上 有一个平行x轴往x轴正向移动 03/27 17:20
51F：→ sarsenwen : 的正电荷 经过一个平行y轴正方向的磁场 这个正电荷 03/27 17:20
52F：→ sarsenwen : 受到有z轴方向的洛伦兹力 离开这个平面 但因为此平 03/27 17:20
53F：→ sarsenwen : 面物理学家 没有z轴的概念 所以他们的电磁学定律就 03/27 17:20
54F：→ sarsenwen : 是 “正电荷经过有垂直其移动方向的磁场时 此正电 03/27 17:20
55F：→ sarsenwen : 荷会消失” XD 03/27 17:20
https://i.imgur.com/LMtjzzV.png
这张图展示了
左边是 2维的人想帮助1维的人理解圆的概念
但是1维的人 只有一个自由度 前or後 所以难想像
於是2维的人就把 一段线 "弯曲" 成一个圆
这个1维的人 就能在这个圆周上 "体验" 一下2维的世界
就是他一直往同一个方向移动 会一直回到原来的点
这在他原本的一维世界是不会发生的现象
在这个圆上 他可以朝同一个方向移动无限远 相当於绕无限多圈
中间是3维的人想帮助2维的人理解圆球的概念
但是2维的人 只有2个自由度 前後or左右 所以难想像
於是3维的人就把 一块平面 "弯曲" 成一个圆球
这个2维的人 就能在这个圆球表面(曲面)上 "体验" 一下3维的世界
就是他一直往不管朝任何方向一直前进 都会回到原来的点
这在他原本的二维世界是不会发生的现象
在这个圆球表面(曲面)上 他可以朝同一个方向移动无限远
但就是无法离开这个3维空间中的曲面
右边就是4维的？想帮助3维的人理解超球体的概念
但是3维的人 只有3个自由度 前後or左右or上下 所以难想像
於是4维的？就把 一部分的空间 "弯曲" 成一个4维空间中的超球体
这个3维的人 就能在这个超球体的超表面上 "体验" 一下4维的世界
(这里还是维持3维的人的视角 因为4维空间我不知道怎麽表示了)
就是他一直往同一个方向飞 都会飞回到原本的位置
这在他原本的三维世界是不会发生的现象
因为他是在超球体的超表面上 超表面是三维空间 是具有体积的
三维的人就可以在这个奇特的"弯曲"空间中一直任意飞
如果4维的？没有帮忙他移回原本的正常空间
三维的人永远飞不出这个超表面
不过如果这个超表面足够大 例如
1维的人在一个足够大的圆周上移动 他还没走到原本的点就往回走
2维的人在一个足够大的球面上移动 他还没走到原本的位置就更改方向
3维的人在一个足够大的超表面上移动 他还没飞到原本的区域就更改方向
这些维度的人 都不会发现自己的世界 从高维来看是被"弯曲"过的
※ 编辑: sarsenwen (1.200.83.36 台湾), 03/29/2025 09:10:34
56F：→ cmrafsts : 除了一维的都会发现，因为高斯曲率不一样 03/31 16:09
57F：推 Bugquan : 这个其实是分辨的出来的，简单讲一个办法，向量沿 03/31 16:31
58F：→ Bugquan : 着封闭曲线平移 03/31 16:31