※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言： : ※ 引述《ginstein (邁向學術之路)》之銘言： : : 箱中球問題（原型）： : : 有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球 : : 。第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，全 : : 部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。請問「最終箱子裡會有多少球」？ : : 不好意思隔了這麼久才回覆 A 大，反問 A 大，兩分鐘那一刻， : : 理論上經過了所有自然數回合，結束後不再放球、取球，球數不再變化應該合理吧？ : : 推 arrenwu : 我覺得丙的想法最正常，但"無窮多"跟"數量不再改變" 03/15 08:51 : : → arrenwu : 在我看起來是相互矛盾的敘述 03/15 08:51 : : → arrenwu : 丁戊的推論是基於"數量不再改變"這個沒被證成的敘述 03/15 08:52 : : 可能 A 大是潛無窮主義者，認為無窮增加、變化，永無止盡才是無窮。 : : 敢問 A 大認可存在所有自然數集合嗎？如果自然數是無窮無盡的... : 讓我們量化地描述這個過程 : 1. 定義 X(t) = t分鐘時箱子裡面球的個數 for t in [0,2). : 2. 每一輪的最後一瞬間，甲乙會完成他們該輪的行動。 : 由上面兩條可得到 X(2-1/(2^(k-1))) = k for k in {1,2,3,4,5,6,........} : 那我們就可以很明確地得到 : lim X(2) = ∞ (這是個函數的極限，所以無窮大在這裏有明確意涵) : t->2 : 現在我的問題是：所以你要怎麼定義 X(t) for t in [2,∞) ？ : 這會直接關係到你題目中的"兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化"是什麼意思 這個悖論的高明之處(或說狡猾之處) 就是不在題目明確定義X(2) 讓作題者自己定義"最後的箱子"是什麼 (自己應該會覺得自己的的定義比別人的定義合理) 然後讓自己感受這悖論的威力 然而原PO除了沒定義最後的箱子之外 也沒明確說明放的球有沒有編號以及如何取球 板上搜尋"悖論"可找到類似的題目 為了讓問題簡化純粹我稍微改動一下題目 改成一位儲戶向銀行存入兩個有編號的硬幣 然後再取出一個編號最小的硬幣 第一輪存入{1,2}取出{1}，結餘{2} 第n輪存入{2n-1,2n}取出{n}，結餘A_n={k|n+1≦k≦2n} 這個銀行是實際幫儲戶保管這些金幣 而不只是給一個存款數字 其餘條件照舊然後問兩分鐘後儲戶在銀行有多少金幣 有學過集合論的人可能會把兩分鐘後的銀行帳戶定義成 A=lim A_n = lim inf A_n = lim sup A_n n→∞ n→∞ n→∞ 如果A存在的話 此題的A恰好存在 lim sup A_n = ∩ ∪ A_k = ∩ {k|k≧n+1} = 空集合 n→∞ n≧1 k≧n n≧1 好了，現在假如你是這位儲戶 你很努力地存兩塊取一塊(每次都淨存入一塊) 在兩分鐘以前，你的銀行存款一直增加 而且是以一個沒有有限上界的速度暴增 但是兩分鐘一到銀行跟你說你的錢全沒了 你會選擇吞下去還是跟銀行打官司 如果選擇打官司 那你要如何定義兩分鐘後的銀行帳戶 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.220.243 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1742786610.A.E8D.html 要回答這個問題之前要先定義這裡的極限是什麼意思 比如說若 ∩ ∪ A_k = ∪ ∩ A_k = A n≧1 k≧n n≧1 k≧n 則定義 lim A_n = A n→∞ 這種定義不用 metric space 也沒有三角不等式可用 跟微積分的極限不太一樣 但這個定義同樣可以用 inf(最大下界) sup(最小上界) 的思路來想 因為集合本身的包含於(inclusion)就定義一個偏序 我們會希望這個極限A若存在，對於每個n ∪ A_k 都會是A的上界 k≧n 而這些上界的最大下界也是A的上界 ∩ ∪ A_k ≧ A n≧1 k≧n 同理 ∪ ∩ A_k ≦ A n≧1 k≧n 所以若 ∩ ∪ A_k = ∪ ∩ A_k n≧1 k≧n n≧1 k≧n 就把極限定義為A，有點像夾擠 那對基數取極限又是什麼意思 若像集合論把基數也看成集合，而且是唯一的 也就是若集合a是A的基數，集合b也是A的基數 則a=b 那對基數取極限的定義就同上 但是#An與An可能是完全不同的集合 極限會不一樣也就不奇怪 集合論中的有限集的基數就用自然數表示 自然數又從空集合出發利用遞迴方法定義 0={},1={0},2={0,1},3={0,1,2},.... 所以 #A_k=k (k是自然數) ∪ ∩ #A_k = ∪ ∩ k = ∪ n = N (自然數集) n≧1 k≧n n≧1 k≧n n≧1 那兩分鐘一到，銀行到底該歸還空集合還是N 從儲戶的角度看的是#A_n，他看到#A_n一直增加 從銀行的角度看的是A_n，畢竟銀行確實保管儲戶所有的金幣 而不是帳簿上的數字 每一個被儲戶存進去的金幣最後也確實都被親手取走 儲戶會抗議他每次都淨存入一個金幣，最後怎麼都消失 但銀行也有其合理的說法 雖然最後儲戶存入了無限多金幣 但同時也取走了無限多金幣 ※ 編輯: ERT312 (111.255.220.243 臺灣), 03/24/2025 18:58:06