※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之铭言： : ※ 引述《ginstein (迈向学术之路)》之铭言： : : 箱中球问题（原型）： : : 有一个空箱，甲乙两人轮流向箱子放球、取球，每轮甲先放进两颗球，接着乙取出一颗球 : : 。第一轮耗时 1 分钟，之後每轮用时减半，总耗时是无穷等比级数，经过无穷多轮，全 : : 部过程在两分钟时停止，之後箱中球数不再变化。请问「最终箱子里会有多少球」？ : : 不好意思隔了这麽久才回覆 A 大，反问 A 大，两分钟那一刻， : : 理论上经过了所有自然数回合，结束後不再放球、取球，球数不再变化应该合理吧？ : : 推 arrenwu : 我觉得丙的想法最正常，但"无穷多"跟"数量不再改变" 03/15 08:51 : : → arrenwu : 在我看起来是相互矛盾的叙述 03/15 08:51 : : → arrenwu : 丁戊的推论是基於"数量不再改变"这个没被证成的叙述 03/15 08:52 : : 可能 A 大是潜无穷主义者，认为无穷增加、变化，永无止尽才是无穷。 : : 敢问 A 大认可存在所有自然数集合吗？如果自然数是无穷无尽的... : 让我们量化地描述这个过程 : 1. 定义 X(t) = t分钟时箱子里面球的个数 for t in [0,2). : 2. 每一轮的最後一瞬间，甲乙会完成他们该轮的行动。 : 由上面两条可得到 X(2-1/(2^(k-1))) = k for k in {1,2,3,4,5,6,........} : 那我们就可以很明确地得到 : lim X(2) = ∞ (这是个函数的极限，所以无穷大在这里有明确意涵) : t->2 : 现在我的问题是：所以你要怎麽定义 X(t) for t in [2,∞) ？ : 这会直接关系到你题目中的"两分钟时停止，之後箱中球数不再变化"是什麽意思 这个悖论的高明之处(或说狡猾之处) 就是不在题目明确定义X(2) 让作题者自己定义"最後的箱子"是什麽 (自己应该会觉得自己的的定义比别人的定义合理) 然後让自己感受这悖论的威力 然而原PO除了没定义最後的箱子之外 也没明确说明放的球有没有编号以及如何取球 板上搜寻"悖论"可找到类似的题目 为了让问题简化纯粹我稍微改动一下题目 改成一位储户向银行存入两个有编号的硬币 然後再取出一个编号最小的硬币 第一轮存入{1,2}取出{1}，结余{2} 第n轮存入{2n-1,2n}取出{n}，结余A_n={k|n+1≦k≦2n} 这个银行是实际帮储户保管这些金币 而不只是给一个存款数字 其余条件照旧然後问两分钟後储户在银行有多少金币 有学过集合论的人可能会把两分钟後的银行帐户定义成 A=lim A_n = lim inf A_n = lim sup A_n n→∞ n→∞ n→∞ 如果A存在的话 此题的A恰好存在 lim sup A_n = ∩ ∪ A_k = ∩ {k|k≧n+1} = 空集合 n→∞ n≧1 k≧n n≧1 好了，现在假如你是这位储户 你很努力地存两块取一块(每次都净存入一块) 在两分钟以前，你的银行存款一直增加 而且是以一个没有有限上界的速度暴增 但是两分钟一到银行跟你说你的钱全没了 你会选择吞下去还是跟银行打官司 如果选择打官司 那你要如何定义两分钟後的银行帐户 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.255.220.243 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1742786610.A.E8D.html 要回答这个问题之前要先定义这里的极限是什麽意思 比如说若 ∩ ∪ A_k = ∪ ∩ A_k = A n≧1 k≧n n≧1 k≧n 则定义 lim A_n = A n→∞ 这种定义不用 metric space 也没有三角不等式可用 跟微积分的极限不太一样 但这个定义同样可以用 inf(最大下界) sup(最小上界) 的思路来想 因为集合本身的包含於(inclusion)就定义一个偏序 我们会希望这个极限A若存在，对於每个n ∪ A_k 都会是A的上界 k≧n 而这些上界的最大下界也是A的上界 ∩ ∪ A_k ≧ A n≧1 k≧n 同理 ∪ ∩ A_k ≦ A n≧1 k≧n 所以若 ∩ ∪ A_k = ∪ ∩ A_k n≧1 k≧n n≧1 k≧n 就把极限定义为A，有点像夹挤 那对基数取极限又是什麽意思 若像集合论把基数也看成集合，而且是唯一的 也就是若集合a是A的基数，集合b也是A的基数 则a=b 那对基数取极限的定义就同上 但是#An与An可能是完全不同的集合 极限会不一样也就不奇怪 集合论中的有限集的基数就用自然数表示 自然数又从空集合出发利用递回方法定义 0={},1={0},2={0,1},3={0,1,2},.... 所以 #A_k=k (k是自然数) ∪ ∩ #A_k = ∪ ∩ k = ∪ n = N (自然数集) n≧1 k≧n n≧1 k≧n n≧1 那两分钟一到，银行到底该归还空集合还是N 从储户的角度看的是#A_n，他看到#A_n一直增加 从银行的角度看的是A_n，毕竟银行确实保管储户所有的金币 而不是帐簿上的数字 每一个被储户存进去的金币最後也确实都被亲手取走 储户会抗议他每次都净存入一个金币，最後怎麽都消失 但银行也有其合理的说法 虽然最後储户存入了无限多金币 但同时也取走了无限多金币 ※ 编辑: ERT312 (111.255.220.243 台湾), 03/24/2025 18:58:06