作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
看板Math
標題Re: [其他] 箱中球悖論（上）
時間Sat Mar 22 22:32:25 2025
※ 引述《ginstein (邁向學術之路)》之銘言：
: 箱中球問題（原型）：
: 有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球
: 。第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，全
: 部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。請問「最終箱子裡會有多少球」？
:
: 不好意思隔了這麼久才回覆 A 大，反問 A 大，兩分鐘那一刻，
: 理論上經過了所有自然數回合，結束後不再放球、取球，球數不再變化應該合理吧？
:
: 推 arrenwu : 我覺得丙的想法最正常，但"無窮多"跟"數量不再改變" 03/15 08:51
: → arrenwu : 在我看起來是相互矛盾的敘述 03/15 08:51
: → arrenwu : 丁戊的推論是基於"數量不再改變"這個沒被證成的敘述 03/15 08:52
:
: 可能 A 大是潛無窮主義者，認為無窮增加、變化，永無止盡才是無窮。
: 敢問 A 大認可存在所有自然數集合嗎？如果自然數是無窮無盡的...
讓我們量化地描述這個過程
1. 定義
X(t) = t分鐘時箱子裡面球的個數 for t in [0,2).
2. 每一輪的最後一瞬間，甲乙會完成他們該輪的行動。
由上面兩條可得到
X(2-1/(2^(k-1))) = k for k in {1,2,3,4,5,6,........}
那我們就可以很明確地得到
lim X(t) = ∞ (這是個函數的極限，所以無窮大在這裏有明確意涵)
t->2
現在我的問題是：
所以你要怎麼定義 X(t) for t in [2,∞) ？
這會直接關係到你題目中的"兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化"是什麼意思
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與角卷綿芽去KTV唱歌
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原圖出處：
https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428
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1F：推 ginstein : 題意[2,inf)是常數函數，題意合理否另說。值該多少 03/23 01:02
2F：→ ginstein : 目前無定論該多少，合理值非負整數和+inf。 03/23 01:02
3F：→ ginstein : 認同想法一是inf，想法二三是0。 03/23 01:05
我這樣問好了：
你有沒有覺得，For all t1<t2 in [0,inf), X(t1) < X(t2) +1 ？
如果你對於這性質沒有意見，哪打算怎麼定義 X(t) for t in [2,∞) ？
4F：→ cmrafsts : 雖然我沒看懂你對無窮的想法，但這篇應該不是寫給你 03/23 07:48
5F：→ cmrafsts : 看的，畢竟你已知知道處理極限會發生的問題了？ 03/23 07:49
6F：→ cmrafsts : 所有操作都是在兩分鐘"之前"發生的事情啊，寫成這樣 03/23 13:55
7F：→ cmrafsts : 當然是物理上不可能的 03/23 13:55
8F：→ cmrafsts : 所以問題就在什麼叫做「最終箱子裡會有多少球」？ 03/23 13:56
9F：→ cmrafsts : 既然你都要取極限了，它也可以寫成每一輪一分鐘，一 03/23 13:58
10F：→ cmrafsts : 樣可以描述一個要被取極限的東西，然後問你該怎麼取 03/23 13:58
11F：→ cmrafsts : 然後就必須問「在無窮多分鐘之後...」這種更奇怪的 03/23 13:59
12F：→ cmrafsts : 句子。 03/23 13:59
13F：推 ginstein : 令t_k=2-1/(2^(k-1)),X(t_r)<X(t_s)+1 if r<s? __ 03/23 17:16
14F：→ ginstein : 沒看懂意思，猜一下。[0,2)是階梯遞增,[2,∞)是常數 03/23 17:18
15F：→ ginstein : 不到兩分鐘時的性質，不一定要延伸到兩分鐘後呀 03/23 17:19
上面那個不等式的意思是在描述 X(t) 隨著時間會大體上越來越多，
而在 t<2 的時候就可以變得「想要有多大就有多大」
妳要怎麼定義從 t=2以後的 X(t) ？
16F：推 TimcApple : 我認為你對極限的概念有誤會 03/23 20:09
17F：→ TimcApple : 極限是事先設好的定值，不是越過無窮的結論 03/23 20:10
18F：→ TimcApple : 所以不會有「一直變大」的極限 03/23 20:12
19F：→ TimcApple : 一般來說，lim a_n = ∞ 的意思是 03/23 20:14
20F：→ TimcApple : 極限不存在，a_n 沒有任何實數上界 03/23 20:15
21F：→ TimcApple : 所以實際上你還需要解釋什麼是「無限多顆球」 03/23 20:15
22F：→ TimcApple : 物理沒有無限多顆球的概念 基本要採用數學定義 03/23 20:17
23F：→ TimcApple : 數學上能好好討論無限的地方是集合論 03/23 20:19
24F：→ TimcApple : 如果是集合論 第一篇的 h 大講得很清楚了 03/23 20:41
25F：→ ginstein : t=2以後的 X(t):丙, inf. 丁戊己, 0. 庚, 看條件 03/23 23:06
26F：→ ginstein : 覺得還是沒了解你的核心問題。換句話說，原問題問 03/23 23:14
27F：→ ginstein : 的是，用你 x(t) 來描述，就是這個值多少才合理。 03/23 23:14
28F：→ ginstein : 之後沒有放球取球動作，常值函數算合理假設吧 03/23 23:16
現在就是在問這個問題啊：
你原題目問 X(t) 在 t>=2 之後是多少或是否無窮多，
那你總要給我們 X(t) 在 t>=2 之後的定義吧？
29F：→ ginstein : 想成t=2發生量子躍遷,之後值不變,問球數多少才合理 03/24 22:14
30F：→ ginstein : 想不到方法繼續說明了,感慨自己老了,有代溝XD 03/24 22:15
31F：→ ginstein : 或者,A大純粹想說明這是ill-formed問題? 03/24 22:22
我會說這個問題看到現在我覺得並沒有 well-defined
(不大確定你所謂的 ill-formed 是什麼意思)
如果你想說 X(t) 在 t=2 可以完全不管之前發生什麼事情，也行。
那就是什麼值都可以。只是這問題就變成一個trivial question
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 03/24/2025 22:41:53