作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
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标题Re: [其他] 箱中球悖论（上）
时间Sat Mar 22 22:32:25 2025
※ 引述《ginstein (迈向学术之路)》之铭言：
: 箱中球问题（原型）：
: 有一个空箱，甲乙两人轮流向箱子放球、取球，每轮甲先放进两颗球，接着乙取出一颗球
: 。第一轮耗时 1 分钟，之後每轮用时减半，总耗时是无穷等比级数，经过无穷多轮，全
: 部过程在两分钟时停止，之後箱中球数不再变化。请问「最终箱子里会有多少球」？
:
: 不好意思隔了这麽久才回覆 A 大，反问 A 大，两分钟那一刻，
: 理论上经过了所有自然数回合，结束後不再放球、取球，球数不再变化应该合理吧？
:
: 推 arrenwu : 我觉得丙的想法最正常，但"无穷多"跟"数量不再改变" 03/15 08:51
: → arrenwu : 在我看起来是相互矛盾的叙述 03/15 08:51
: → arrenwu : 丁戊的推论是基於"数量不再改变"这个没被证成的叙述 03/15 08:52
:
: 可能 A 大是潜无穷主义者，认为无穷增加、变化，永无止尽才是无穷。
: 敢问 A 大认可存在所有自然数集合吗？如果自然数是无穷无尽的...
让我们量化地描述这个过程
1. 定义
X(t) = t分钟时箱子里面球的个数 for t in [0,2).
2. 每一轮的最後一瞬间，甲乙会完成他们该轮的行动。
由上面两条可得到
X(2-1/(2^(k-1))) = k for k in {1,2,3,4,5,6,........}
那我们就可以很明确地得到
lim X(t) = ∞ (这是个函数的极限，所以无穷大在这里有明确意涵)
t->2
现在我的问题是：
所以你要怎麽定义 X(t) for t in [2,∞) ？
这会直接关系到你题目中的"两分钟时停止，之後箱中球数不再变化"是什麽意思
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与角卷绵芽去KTV唱歌
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原图出处：
https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428
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1F：推 ginstein : 题意[2,inf)是常数函数，题意合理否另说。值该多少 03/23 01:02
2F：→ ginstein : 目前无定论该多少，合理值非负整数和+inf。 03/23 01:02
3F：→ ginstein : 认同想法一是inf，想法二三是0。 03/23 01:05
我这样问好了：
你有没有觉得，For all t1<t2 in [0,inf), X(t1) < X(t2) +1 ？
如果你对於这性质没有意见，哪打算怎麽定义 X(t) for t in [2,∞) ？
4F：→ cmrafsts : 虽然我没看懂你对无穷的想法，但这篇应该不是写给你 03/23 07:48
5F：→ cmrafsts : 看的，毕竟你已知知道处理极限会发生的问题了？ 03/23 07:49
6F：→ cmrafsts : 所有操作都是在两分钟"之前"发生的事情啊，写成这样 03/23 13:55
7F：→ cmrafsts : 当然是物理上不可能的 03/23 13:55
8F：→ cmrafsts : 所以问题就在什麽叫做「最终箱子里会有多少球」？ 03/23 13:56
9F：→ cmrafsts : 既然你都要取极限了，它也可以写成每一轮一分钟，一 03/23 13:58
10F：→ cmrafsts : 样可以描述一个要被取极限的东西，然後问你该怎麽取 03/23 13:58
11F：→ cmrafsts : 然後就必须问「在无穷多分钟之後...」这种更奇怪的 03/23 13:59
12F：→ cmrafsts : 句子。 03/23 13:59
13F：推 ginstein : 令t_k=2-1/(2^(k-1)),X(t_r)<X(t_s)+1 if r<s? __ 03/23 17:16
14F：→ ginstein : 没看懂意思，猜一下。[0,2)是阶梯递增,[2,∞)是常数 03/23 17:18
15F：→ ginstein : 不到两分钟时的性质，不一定要延伸到两分钟後呀 03/23 17:19
上面那个不等式的意思是在描述 X(t) 随着时间会大体上越来越多，
而在 t<2 的时候就可以变得「想要有多大就有多大」
你要怎麽定义从 t=2以後的 X(t) ？
16F：推 TimcApple : 我认为你对极限的概念有误会 03/23 20:09
17F：→ TimcApple : 极限是事先设好的定值，不是越过无穷的结论 03/23 20:10
18F：→ TimcApple : 所以不会有「一直变大」的极限 03/23 20:12
19F：→ TimcApple : 一般来说，lim a_n = ∞ 的意思是 03/23 20:14
20F：→ TimcApple : 极限不存在，a_n 没有任何实数上界 03/23 20:15
21F：→ TimcApple : 所以实际上你还需要解释什麽是「无限多颗球」 03/23 20:15
22F：→ TimcApple : 物理没有无限多颗球的概念 基本要采用数学定义 03/23 20:17
23F：→ TimcApple : 数学上能好好讨论无限的地方是集合论 03/23 20:19
24F：→ TimcApple : 如果是集合论 第一篇的 h 大讲得很清楚了 03/23 20:41
25F：→ ginstein : t=2以後的 X(t):丙, inf. 丁戊己, 0. 庚, 看条件 03/23 23:06
26F：→ ginstein : 觉得还是没了解你的核心问题。换句话说，原问题问 03/23 23:14
27F：→ ginstein : 的是，用你 x(t) 来描述，就是这个值多少才合理。 03/23 23:14
28F：→ ginstein : 之後没有放球取球动作，常值函数算合理假设吧 03/23 23:16
现在就是在问这个问题啊：
你原题目问 X(t) 在 t>=2 之後是多少或是否无穷多，
那你总要给我们 X(t) 在 t>=2 之後的定义吧？
29F：→ ginstein : 想成t=2发生量子跃迁,之後值不变,问球数多少才合理 03/24 22:14
30F：→ ginstein : 想不到方法继续说明了,感慨自己老了,有代沟XD 03/24 22:15
31F：→ ginstein : 或者,A大纯粹想说明这是ill-formed问题? 03/24 22:22
我会说这个问题看到现在我觉得并没有 well-defined
(不大确定你所谓的 ill-formed 是什麽意思)
如果你想说 X(t) 在 t=2 可以完全不管之前发生什麽事情，也行。
那就是什麽值都可以。只是这问题就变成一个trivial question
※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 03/24/2025 22:41:53