作者saltlake (SaltLake)
看板Math
標題[機統] 一組事之最小機率和一組餘事的最大機率
時間Tue Mar 18 21:11:04 2025
假設我們有下列不等式:
P(A) >= 1 - min{ P(B(i)), i = 1 to n }
倘若 Bc(i) 表示 B(i) 的餘事件，亦即 P(Bc(i)) = P(B(i)
那麼原本的不等式是否可轉變成下列這個?
P(A) >= max{ P(Bc(i)), i = 1 to n }?
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1F：→ Ricestone : 你想講1-P(B(i))吧 你做過的嘗試是什麼？卡在哪裡？ 03/19 04:53
是的，事件的機率和餘事件的機率之和應為一。
而既然兩者機率之和是固定值，那麼當一者為最小值的時候，「直觀上」，
另者應為最小。
可上面這只是抽象的思考，即使隨機設了幾組數據算了算沒錯，沒有具體推
導過程，無法確定是否正確。
※ 編輯: saltlake (114.36.231.207 臺灣), 03/19/2025 05:28:57
2F：→ Ricestone : 我的問題是你的具體推導過程有嘗試過嗎？ 03/19 05:29
基於高中數學的思路，
假設 P(B(i)) 是個開口向上而有唯一最小值的曲線，
那麼其餘事件的機率函數，根據定義是 P(Bc(i)) = 1 - P(B(i))
把 P(B(i)) 的函數取負號，相當於上下導轉函數圖形，得到一個
開口向下而有唯一最大值的曲線。
把上述曲線的每一點數值加一，就是餘事件的機率函數，而這樣做
不改變曲線形狀，只是把曲線在座標軸位置向上挪一單位。
準此，原問題應該是普遍成立的，只要事件的機率函數滿足上述的
條件限制即可。
問題是，怎樣用數學符號的方式推導。尤其是把事件機率最小值轉
成餘事件機率最大值的步驟。
※ 編輯: saltlake (114.36.231.207 臺灣), 03/19/2025 13:49:01
※ 編輯: saltlake (114.36.231.207 臺灣), 03/19/2025 13:49:35
3F：→ Ricestone : 你是不是都習慣把東西想成函數圖形而複雜化？ 03/19 13:51
4F：→ Ricestone : 你就直接把那個min視為某個c就可以了 03/19 13:57
5F：推 AquaCute : 你是想證P(x)最小時 1-P(x)會最大嗎 03/19 19:14
6F：→ AquaCute : Hint: x<=y -> -x>=-y 03/19 19:14