作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题[机统] 一组事之最小机率和一组余事的最大机率
时间Tue Mar 18 21:11:04 2025
假设我们有下列不等式:
P(A) >= 1 - min{ P(B(i)), i = 1 to n }
倘若 Bc(i) 表示 B(i) 的余事件，亦即 P(Bc(i)) = P(B(i)
那麽原本的不等式是否可转变成下列这个?
P(A) >= max{ P(Bc(i)), i = 1 to n }?
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1F：→ Ricestone : 你想讲1-P(B(i))吧 你做过的尝试是什麽？卡在哪里？ 03/19 04:53
是的，事件的机率和余事件的机率之和应为一。
而既然两者机率之和是固定值，那麽当一者为最小值的时候，「直观上」，
另者应为最小。
可上面这只是抽象的思考，即使随机设了几组数据算了算没错，没有具体推
导过程，无法确定是否正确。
※ 编辑: saltlake (114.36.231.207 台湾), 03/19/2025 05:28:57
2F：→ Ricestone : 我的问题是你的具体推导过程有尝试过吗？ 03/19 05:29
基於高中数学的思路，
假设 P(B(i)) 是个开口向上而有唯一最小值的曲线，
那麽其余事件的机率函数，根据定义是 P(Bc(i)) = 1 - P(B(i))
把 P(B(i)) 的函数取负号，相当於上下导转函数图形，得到一个
开口向下而有唯一最大值的曲线。
把上述曲线的每一点数值加一，就是余事件的机率函数，而这样做
不改变曲线形状，只是把曲线在座标轴位置向上挪一单位。
准此，原问题应该是普遍成立的，只要事件的机率函数满足上述的
条件限制即可。
问题是，怎样用数学符号的方式推导。尤其是把事件机率最小值转
成余事件机率最大值的步骤。
※ 编辑: saltlake (114.36.231.207 台湾), 03/19/2025 13:49:01
※ 编辑: saltlake (114.36.231.207 台湾), 03/19/2025 13:49:35
3F：→ Ricestone : 你是不是都习惯把东西想成函数图形而复杂化？ 03/19 13:51
4F：→ Ricestone : 你就直接把那个min视为某个c就可以了 03/19 13:57
5F：推 AquaCute : 你是想证P(x)最小时 1-P(x)会最大吗 03/19 19:14
6F：→ AquaCute : Hint: x<=y -> -x>=-y 03/19 19:14