作者bl2086 (Bingo)
看板Math
標題[代數] 請教一題Sylow定理的題目
時間Fri Mar 14 17:03:07 2025
https://bingo.freeoda.com/bl2086_Problem.pdf
如題，請指點，謝謝！
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1F：推 wrvuxci : 由Sylow定理，n_p(Sylow-p subgroup的個數)必整除q 03/14 22:33
2F：→ wrvuxci : 且n_p被p除需餘1，已知p>q，同時滿足這些條件只有 03/14 22:35
3F：→ wrvuxci : n_p=1，再由Sylow定理可知G的Sylow p-subgroup是 03/14 22:36
4F：→ wrvuxci : normal subgroup，它的order為p^n 所以就是一個 03/14 22:37
5F：→ wrvuxci : proper normal subgroup，以上是第一題 03/14 22:37
6F：→ wrvuxci : 以上是(a)才對。(b)的部份：對任意一個x,都有 03/14 22:39
7F：→ wrvuxci : |O_x|≦|X|=q，又由公式知|O_x|需為|G|的因數，所以 03/14 22:41
8F：→ wrvuxci : |O_x|只能是1或q（這裡又用到p>q）。如果有一個 03/14 22:42
9F：→ wrvuxci : |O_x|=q，那就是transitive（所以其實全部|O_x|=q） 03/14 22:42
10F：→ wrvuxci : 否則就所有|O_x|=1，那就是trivial的情形 03/14 22:43