作者bl2086 (Bingo)
看板Math
标题[代数] 请教一题Sylow定理的题目
时间Fri Mar 14 17:03:07 2025
https://bingo.freeoda.com/bl2086_Problem.pdf
如题，请指点，谢谢！
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1F：推 wrvuxci : 由Sylow定理，n_p(Sylow-p subgroup的个数)必整除q 03/14 22:33
2F：→ wrvuxci : 且n_p被p除需余1，已知p>q，同时满足这些条件只有 03/14 22:35
3F：→ wrvuxci : n_p=1，再由Sylow定理可知G的Sylow p-subgroup是 03/14 22:36
4F：→ wrvuxci : normal subgroup，它的order为p^n 所以就是一个 03/14 22:37
5F：→ wrvuxci : proper normal subgroup，以上是第一题 03/14 22:37
6F：→ wrvuxci : 以上是(a)才对。(b)的部份：对任意一个x,都有 03/14 22:39
7F：→ wrvuxci : |O_x|≦|X|=q，又由公式知|O_x|需为|G|的因数，所以 03/14 22:41
8F：→ wrvuxci : |O_x|只能是1或q（这里又用到p>q）。如果有一个 03/14 22:42
9F：→ wrvuxci : |O_x|=q，那就是transitive（所以其实全部|O_x|=q） 03/14 22:42
10F：→ wrvuxci : 否则就所有|O_x|=1，那就是trivial的情形 03/14 22:43