作者deathcustom (Full House)
看板Math
標題Re: [中學] 國中圓單元求解
時間Tue Dec 24 10:32:25 2024
※ 引述《helloboy (小悟)》之銘言：
用6個邊長為1的正方形排成三角形堆垛（如圖），
則能將此圖形完全覆蓋的圓，其半徑最小為何？
一開始的想法是圖形對稱，此圓會通過四點，想利用座標化解決，但算出來的半徑不是答案。
想詢問是不是想錯方向了？應該怎麼做？
https://i.imgur.com/NtEYeiJ.jpeg
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1F：→ musicbox810 : 答案多少? 12/23 21:19
2F：→ musicbox810 : 感覺不是很好看 12/23 21:22
3F：→ musicbox810 : 最多只有2種可能，最後再檢驗淘汰掉1個 12/23 21:50
4F：推 cuylerLin : 隨便算了一下，（根號130)/6嗎？ 12/23 21:59
5F：→ mantour : 通過三點就會通過4點，三角形外接圓半徑=abc/（4* 12/24 01:47
6F：→ mantour : 三角形面積）=√130/6 12/24 01:47
提供除了座標化以外的兩種做法計算外接圓半徑：
1. 正弦定理
考慮堆垛的
(1) 最上層左上頂點
(2) 最上層右上頂點
(3) 最下層左下頂點
這樣的三角形(就是mantour大說的三角形)，也是musicbox說的兩種可能其中之一
(1)-(2): 1
(1)-(3): sqrt(10)
(2)-(3): sqrt(13)
正弦定理說：
a/sin(A) = 2R
考慮(2)為角A
sin(A) = 3/sqrt(13)
sqrt(10)/sin(A) = sqrt(130)/3 = 2R
R = sqrt(130)/6
2.
考慮堆垛的上緣為第一弦，弦長1
考慮堆垛的下緣為第二弦，弦長3
基於弦、半徑與圓心關係，我們知道
令圓心距離第一弦距離x
R^2 = 0.5^2 + x^2 = 1.5^2 + (3-x)^2
整理得到
R^2 - x^2 = 0.25 = 2.25 + 9 - 6x
考慮最後一個等式，得到
x = 11/6
因此
R^2 = 9/36 + 121/36 = 130/36
R = sqrt(130)/6
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