作者deathcustom (Full House)
看板Math
标题Re: [中学] 国中圆单元求解
时间Tue Dec 24 10:32:25 2024
※ 引述《helloboy (小悟)》之铭言：
用6个边长为1的正方形排成三角形堆垛（如图），
则能将此图形完全覆盖的圆，其半径最小为何？
一开始的想法是图形对称，此圆会通过四点，想利用座标化解决，但算出来的半径不是答案。
想询问是不是想错方向了？应该怎麽做？
https://i.imgur.com/NtEYeiJ.jpeg
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1F：→ musicbox810 : 答案多少? 12/23 21:19
2F：→ musicbox810 : 感觉不是很好看 12/23 21:22
3F：→ musicbox810 : 最多只有2种可能，最後再检验淘汰掉1个 12/23 21:50
4F：推 cuylerLin : 随便算了一下，（根号130)/6吗？ 12/23 21:59
5F：→ mantour : 通过三点就会通过4点，三角形外接圆半径=abc/（4* 12/24 01:47
6F：→ mantour : 三角形面积）=√130/6 12/24 01:47
提供除了座标化以外的两种做法计算外接圆半径：
1. 正弦定理
考虑堆垛的
(1) 最上层左上顶点
(2) 最上层右上顶点
(3) 最下层左下顶点
这样的三角形(就是mantour大说的三角形)，也是musicbox说的两种可能其中之一
(1)-(2): 1
(1)-(3): sqrt(10)
(2)-(3): sqrt(13)
正弦定理说：
a/sin(A) = 2R
考虑(2)为角A
sin(A) = 3/sqrt(13)
sqrt(10)/sin(A) = sqrt(130)/3 = 2R
R = sqrt(130)/6
2.
考虑堆垛的上缘为第一弦，弦长1
考虑堆垛的下缘为第二弦，弦长3
基於弦、半径与圆心关系，我们知道
令圆心距离第一弦距离x
R^2 = 0.5^2 + x^2 = 1.5^2 + (3-x)^2
整理得到
R^2 - x^2 = 0.25 = 2.25 + 9 - 6x
考虑最後一个等式，得到
x = 11/6
因此
R^2 = 9/36 + 121/36 = 130/36
R = sqrt(130)/6
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