作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
看板Math
標題Re: [微積] 連鎖律的證明
時間Sat Dec 7 20:17:05 2024
※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: 在Stewart的書中 連鎖律證明的上半部分是這樣
這證明過程看起來還真是有點花，讓我們換個角度來看好了
微分的連鎖律
給定兩函數 f(x), g(x)，並且定義合成函數 h(x) = f(g(x))
連鎖律：
如果在x=a, g'(a) 與 f'(g(a)) 都存在，
試證 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a)
一個直覺的想法
有一種滿直接的做法是：
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
x->a x->a
= lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)
x->a
而 (1) lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)) = f'(g(a))
x->a
(2) lim [g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a)
x->a
所以 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = f'(g(a))*g'(a)
x->a
秒殺！
很遺憾的，這個直覺的做法有瑕疵
上面那想法雖然沒有錯(至少沒有錯得太離譜)
但是有一個數學上的問題是
我們在取極限的時候，x->a 有個基本的假設是 x≠a
所以分母寫 (x-a) 是 well-defined，
但是！我們並沒有保證過 (g(x)-g(a)) 不等於零。
也就是說，
[f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)
這個寫法本身就
隱含著"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。
(不然你也沒辦法放在分母了)
那麼，我們有
"x≠a的時候，g(x)-g(a)不等於零" 這項假設嗎？
很遺憾地，沒有。
所以這時候數學分析的技術開始介入了！
讓我們來看個比較嚴謹的數學證明
問題出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我們就來處理這部分吧
所以我們定義一個快樂函數 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a)
f'(g(a)) , g(x)=g(a)
因為絕對不可能有一個 x 使得 g(x)=g(a) 與 g(x)≠g(a) 同時成立，
所以這函數是 well-defined的
定義這函數幹嘛呢？
Claim1:對於任意 x≠a 我們有
[h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
<Proof of Claim1>
這個證明很直接，就討論 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情況
有了Claim1之後，距離目標就不遠了
畢竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知條件
x->a
下一步就僅剩下證明 lim u(x) = f'(g(a))
x->a
有這個條件的話，就可以得到
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
x->a x->a
= lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a)
x->a x->a
= f'(g(a)) * g'(a)
Claim2: u(x) 在 x=a 時連續
<Proof of Claim2>
想要證明這件事情，必須證明
對於任意ε>0，都存在一個η>0 使得
|x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε
當然， u(a) = f'(g(a)) 是顯而易見啦
證明開始囉！
已知 f'(g(a)) 存在，所以對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε
用g(x)帶入y可得到
對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ
=> |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε
=> |u(x)- f'(g(a))|<ε ..... (1)
同時，任何情況下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a)) .... (2)
綜合(1),(2)我們可以得到
對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
|g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3)
另一方面因為 g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 時必定連續
所以
對於任意 δ > 0 ，必然存在一個 η>0 使得
|x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ .......... (4)
綜合 (3),(4)，我們可以得到
對於任意ε>0，都存在一個 η>0 使得
|x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε Q.E.D
好，既然我們現在有了 u(x) 在 x=a 時候連續，
自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a))
x->a
之後可以歡樂地使用 chain rule了 :D
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今天的天空好像特別美
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1F：推 LeFilsDuVent: 邏輯清楚 12/08 16:56
2F：→ mantour : 推，清楚易懂 12/08 19:21
3F：推 oyasmy : 只有我不太懂 從定義上來看 lim(x->a)u(x)不是就是 12/08 22:34
4F：→ oyasmy : f'(g(a))嗎?還有直接從定義不就已經直接把x=a這個洞 12/08 22:35
5F：→ oyasmy : 補起來了嗎?所以後續為什麼還要證明呢?當然我一定 12/08 22:36
6F：→ oyasmy : 是錯的 我只是問問看而已 12/08 22:36
7F：推 oyasmy : ^後續為什麼還要證明連續 12/08 22:38
從u(x)定義來看，
(1) 我們可以直接得到 u(a) = f'(g(a))，
(2) 但那個定義沒辦法直接得到 lim u(x) = f'(g(a))
x->a
要證明lim u(x) = f'(g(a)) ，就要證明下面這件事情：
x->a
對於任意ε>0，都存在一個δ>0 使得
x≠a, |x-a|<δ => |u(x)-f'(g(a))| <ε
妳不妨試試看妳會怎麼做 :)
8F：推 ERT312 : @oyasmy 其實arrenwu的方法就是你課本的方法 12/09 10:23
9F：→ ERT312 : arrenwu大的u(x)就是你課本的ε2 + f'(g(a)) 12/09 10:24
10F：→ ERT312 : claim1就是Δy/Δx=(ε2+f'(g(a)))(g'(a)+ε1) 12/09 10:27
11F：→ ERT312 : claim2就是此串前篇我插播的定理 12/09 10:28
12F：→ ERT312 : 當然有些細節不一樣例如arrenwu大的x對照前篇就是 12/09 10:29
13F：→ ERT312 : a+Δx ; x→a就是Δx→0 12/09 10:30
14F：→ ERT312 : 我插播的定理沒要求f在a連續，沒用到的條件我習慣 12/09 10:31
15F：→ ERT312 : 放弱，其餘就大同小異 12/09 10:32
16F：→ ERT312 : oyasmy大 你有學過ε-δ式的極限跟連續定義嗎 12/09 10:34
17F：→ ERT312 : 因為從你此串第一篇的提問，看得出來你是有一些自己 12/09 10:35
18F：→ ERT312 : 想法，例如原本的ε2在還沒定義ε2(Δu=0)時，並沒 12/09 10:37
19F：→ ERT312 : 有新增任何東西，只是把原本一串很長的式子用ε2表 12/09 10:38
20F：→ ERT312 : 式而已，只有在定義ε2(Δu=0)=0時，才真正有加了料 12/09 10:38
21F：→ ERT312 : 而你對這個加料感到疑惑或不安，為何不影響證明的正 12/09 10:39
22F：→ ERT312 : 確性。看得出你有自己的想法...但又好像說不清楚 12/09 10:41
23F：→ ERT312 : 或許可以試著把你的問題更詳細多說一點 12/09 10:43
24F：推 oyasmy : 回a大 我會照抄你的方法 只是把η和δ互換 12/09 13:39
25F：→ oyasmy : |x-a| < η改成0<|x-a| < δ 12/09 13:40
26F：→ oyasmy : |u(x)-u(a)| < ε改成|u(x)-f'(g(a))| 12/09 13:42
27F：→ oyasmy : 其它的照抄 這樣好像可以 12/09 13:43
但我之所以要寫一串，就是因為我覺得
lim u(x) = f'(g(a)) 並非顯而易見啊
x->a
至少 u(x) 是用一個不是很自然的方式訂出來的
28F：→ oyasmy : 回E大 我想問的基本上都問了 只是我覺得怎麼你們 12/09 13:44
29F：→ oyasmy : 提出的證明方法怎麼比課本上的更難啊XD 12/09 13:45
30F：推 deathcustom : oya, 我這樣跟你說好了，世界上有兩種人，一種是懂 12/09 15:36
31F：→ deathcustom : 為什麼的人，另一種是懂怎麼用的人。你先確認一下 12/09 15:36
32F：→ deathcustom : 你需要成為哪一種人，我自己是選擇成為第二種 12/09 15:36
33F：→ deathcustom : arrenwu的推導會讓你覺得比課本上更難的一種可能是 12/09 15:37
34F：→ deathcustom : 你沒有仔細想一下課本上推導的邏輯(when you take 12/09 15:38
35F：→ deathcustom : it for granted, it's trivial!!) 12/09 15:38
36F：推 oyasmy : 因為E大的提示 我知道u(x)是課本的ε2+f'(g(a)) 12/09 17:45
37F：→ oyasmy : 定義g(x)=g(a)時u(x)=f'(g(a))等價於定義當Δu=0時 12/09 17:48
38F：→ oyasmy : ε2=0 所以a大的方式是等價於課本的 只是我覺得 12/09 17:50
39F：→ oyasmy : 在課本上理所當然的事 a大都嚴格證明了出來 我知道 12/09 17:51
40F：→ oyasmy : 這是一種比較高級的技術 12/09 17:52
41F：推 deathcustom : 我給你的問題是:r you a scientist or an engineer? 12/09 18:14
42F：→ deathcustom : 作工程師，記下來，學會怎麼運用他，就好了 12/09 18:15
43F：→ deathcustom : 作學術的態度，你就不能把"任何一步"當作理所當然 12/09 18:16
44F：→ musicbox810 : Claim1前提就是x不等於a，為何還要討論g(x)=g(a)? 12/11 11:34
因為 x≠a 和 g(x)=g(a) 可以同時成立呀
45F：推 ERT312 : 其實就是前篇我提到的Δu的第二種情況 12/11 14:34
46F：→ ERT312 : 發生這種情況，x在a的任一鄰域都會踩到無限多點 12/11 14:35
47F：→ ERT312 : g(x)=g(a)，連鎖律考慮一般情況就無法排除這種情況 12/11 14:36
48F：→ musicbox810 : 請問ERT大第二種狀況是在主文裡面的哪個地方？因為 12/11 14:54
49F：→ musicbox810 : 沒標，所以不太清楚是指哪個段落的 12/11 14:54
50F：→ ERT312 : 前篇的"而否定上述情況的Δu即為" ..... 12/11 14:56
51F：→ musicbox810 : 回a大 (h(x)-h(a))=[f(g(x))-f(g(a))]/0 *0當g(x)= 12/11 14:56
52F：→ musicbox810 : g(a)，會發生0/0的問題 12/11 14:57
[h(x)-h(a)]/(x-a) 在 x≠a 和 g(x)=g(a) 同時成立下就是 0 呀，
分母 x-a 仍然因為 x≠a 所以不是 0 呀
53F：→ musicbox810 : 可以請a大乾脆把claim1的證明寫出來嗎？謝謝 12/11 14:59
<Proof of Claim1>
對於任意x≠a
(1) 如果 g(x) = g(a)
[h(x)-h(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = 0
u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) = 0
(2) 如果 g(x) ≠ g(a)
[h(x)-h(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/[g(x)-g(a)]*[g(x)-g(a)]/(x-a)
= [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
故 x≠a 之下， [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a)
54F：→ musicbox810 : 那我覺得跟我在最後一篇講的證明是同樣一件事，只是 12/11 15:09
55F：→ musicbox810 : 我在那篇寫的f'(g(a))，a大直接用u(x)表示，是吧? 12/11 15:17
我不太懂你想表達什麼。我這邊定義的 u(x)是個函數，f'(g(a))是個常數
u(x) 跟 f'(g(a)) 怎麼樣都不同吧？
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 12/11/2024 15:18:20
56F：→ musicbox810 : 但是a大再賦予u(a)值使u(x)為連續，以致於可以在乘 12/11 15:18
57F：→ musicbox810 : 積的極限化成個別極限的乘積時直接算出limu(x)x->a 12/11 15:19
58F：→ musicbox810 : 但是在那種g(x)=g(a)狀況下，lim [h(x)-h(a)]/(x-a) 12/11 15:20
59F：→ musicbox810 : 反正也是0，u(a)是什麼就不重要了 12/11 15:20