作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
看板Math
标题Re: [微积] 连锁律的证明
时间Sat Dec 7 20:17:05 2024
※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之铭言：
: 在Stewart的书中 连锁律证明的上半部分是这样
这证明过程看起来还真是有点花，让我们换个角度来看好了
微分的连锁律
给定两函数 f(x), g(x)，并且定义合成函数 h(x) = f(g(x))
连锁律：
如果在x=a, g'(a) 与 f'(g(a)) 都存在，
试证 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a)
一个直觉的想法
有一种满直接的做法是：
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
x->a x->a
= lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)
x->a
而 (1) lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)) = f'(g(a))
x->a
(2) lim [g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a)
x->a
所以 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = f'(g(a))*g'(a)
x->a
秒杀！
很遗憾的，这个直觉的做法有瑕疵
上面那想法虽然没有错(至少没有错得太离谱)
但是有一个数学上的问题是
我们在取极限的时候，x->a 有个基本的假设是 x≠a
所以分母写 (x-a) 是 well-defined，
但是！我们并没有保证过 (g(x)-g(a)) 不等於零。
也就是说，
[f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)
这个写法本身就
隐含着"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。
(不然你也没办法放在分母了)
那麽，我们有
"x≠a的时候，g(x)-g(a)不等於零" 这项假设吗？
很遗憾地，没有。
所以这时候数学分析的技术开始介入了！
让我们来看个比较严谨的数学证明
问题出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我们就来处理这部分吧
所以我们定义一个快乐函数 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a)
f'(g(a)) , g(x)=g(a)
因为绝对不可能有一个 x 使得 g(x)=g(a) 与 g(x)≠g(a) 同时成立，
所以这函数是 well-defined的
定义这函数干嘛呢？
Claim1:对於任意 x≠a 我们有
[h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
<Proof of Claim1>
这个证明很直接，就讨论 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情况
有了Claim1之後，距离目标就不远了
毕竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知条件
x->a
下一步就仅剩下证明 lim u(x) = f'(g(a))
x->a
有这个条件的话，就可以得到
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
x->a x->a
= lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a)
x->a x->a
= f'(g(a)) * g'(a)
Claim2: u(x) 在 x=a 时连续
<Proof of Claim2>
想要证明这件事情，必须证明
对於任意ε>0，都存在一个η>0 使得
|x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε
当然， u(a) = f'(g(a)) 是显而易见啦
证明开始罗！
已知 f'(g(a)) 存在，所以对於任意ε>0，都存在一个δ>0使得
y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε
用g(x)带入y可得到
对於任意ε>0，都存在一个δ>0使得
g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ
=> |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε
=> |u(x)- f'(g(a))|<ε ..... (1)
同时，任何情况下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a)) .... (2)
综合(1),(2)我们可以得到
对於任意ε>0，都存在一个δ>0使得
|g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3)
另一方面因为 g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 时必定连续
所以
对於任意 δ > 0 ，必然存在一个 η>0 使得
|x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ .......... (4)
综合 (3),(4)，我们可以得到
对於任意ε>0，都存在一个 η>0 使得
|x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε Q.E.D
好，既然我们现在有了 u(x) 在 x=a 时候连续，
自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a))
x->a
之後可以欢乐地使用 chain rule了 :D
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今天的天空好像特别美
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1F：推 LeFilsDuVent: 逻辑清楚 12/08 16:56
2F：→ mantour : 推，清楚易懂 12/08 19:21
3F：推 oyasmy : 只有我不太懂 从定义上来看 lim(x->a)u(x)不是就是 12/08 22:34
4F：→ oyasmy : f'(g(a))吗?还有直接从定义不就已经直接把x=a这个洞 12/08 22:35
5F：→ oyasmy : 补起来了吗?所以後续为什麽还要证明呢?当然我一定 12/08 22:36
6F：→ oyasmy : 是错的 我只是问问看而已 12/08 22:36
7F：推 oyasmy : ^後续为什麽还要证明连续 12/08 22:38
从u(x)定义来看，
(1) 我们可以直接得到 u(a) = f'(g(a))，
(2) 但那个定义没办法直接得到 lim u(x) = f'(g(a))
x->a
要证明lim u(x) = f'(g(a)) ，就要证明下面这件事情：
x->a
对於任意ε>0，都存在一个δ>0 使得
x≠a, |x-a|<δ => |u(x)-f'(g(a))| <ε
你不妨试试看你会怎麽做 :)
8F：推 ERT312 : @oyasmy 其实arrenwu的方法就是你课本的方法 12/09 10:23
9F：→ ERT312 : arrenwu大的u(x)就是你课本的ε2 + f'(g(a)) 12/09 10:24
10F：→ ERT312 : claim1就是Δy/Δx=(ε2+f'(g(a)))(g'(a)+ε1) 12/09 10:27
11F：→ ERT312 : claim2就是此串前篇我插播的定理 12/09 10:28
12F：→ ERT312 : 当然有些细节不一样例如arrenwu大的x对照前篇就是 12/09 10:29
13F：→ ERT312 : a+Δx ; x→a就是Δx→0 12/09 10:30
14F：→ ERT312 : 我插播的定理没要求f在a连续，没用到的条件我习惯 12/09 10:31
15F：→ ERT312 : 放弱，其余就大同小异 12/09 10:32
16F：→ ERT312 : oyasmy大 你有学过ε-δ式的极限跟连续定义吗 12/09 10:34
17F：→ ERT312 : 因为从你此串第一篇的提问，看得出来你是有一些自己 12/09 10:35
18F：→ ERT312 : 想法，例如原本的ε2在还没定义ε2(Δu=0)时，并没 12/09 10:37
19F：→ ERT312 : 有新增任何东西，只是把原本一串很长的式子用ε2表 12/09 10:38
20F：→ ERT312 : 式而已，只有在定义ε2(Δu=0)=0时，才真正有加了料 12/09 10:38
21F：→ ERT312 : 而你对这个加料感到疑惑或不安，为何不影响证明的正 12/09 10:39
22F：→ ERT312 : 确性。看得出你有自己的想法...但又好像说不清楚 12/09 10:41
23F：→ ERT312 : 或许可以试着把你的问题更详细多说一点 12/09 10:43
24F：推 oyasmy : 回a大 我会照抄你的方法 只是把η和δ互换 12/09 13:39
25F：→ oyasmy : |x-a| < η改成0<|x-a| < δ 12/09 13:40
26F：→ oyasmy : |u(x)-u(a)| < ε改成|u(x)-f'(g(a))| 12/09 13:42
27F：→ oyasmy : 其它的照抄 这样好像可以 12/09 13:43
但我之所以要写一串，就是因为我觉得
lim u(x) = f'(g(a)) 并非显而易见啊
x->a
至少 u(x) 是用一个不是很自然的方式订出来的
28F：→ oyasmy : 回E大 我想问的基本上都问了 只是我觉得怎麽你们 12/09 13:44
29F：→ oyasmy : 提出的证明方法怎麽比课本上的更难啊XD 12/09 13:45
30F：推 deathcustom : oya, 我这样跟你说好了，世界上有两种人，一种是懂 12/09 15:36
31F：→ deathcustom : 为什麽的人，另一种是懂怎麽用的人。你先确认一下 12/09 15:36
32F：→ deathcustom : 你需要成为哪一种人，我自己是选择成为第二种 12/09 15:36
33F：→ deathcustom : arrenwu的推导会让你觉得比课本上更难的一种可能是 12/09 15:37
34F：→ deathcustom : 你没有仔细想一下课本上推导的逻辑(when you take 12/09 15:38
35F：→ deathcustom : it for granted, it's trivial!!) 12/09 15:38
36F：推 oyasmy : 因为E大的提示 我知道u(x)是课本的ε2+f'(g(a)) 12/09 17:45
37F：→ oyasmy : 定义g(x)=g(a)时u(x)=f'(g(a))等价於定义当Δu=0时 12/09 17:48
38F：→ oyasmy : ε2=0 所以a大的方式是等价於课本的 只是我觉得 12/09 17:50
39F：→ oyasmy : 在课本上理所当然的事 a大都严格证明了出来 我知道 12/09 17:51
40F：→ oyasmy : 这是一种比较高级的技术 12/09 17:52
41F：推 deathcustom : 我给你的问题是:r you a scientist or an engineer? 12/09 18:14
42F：→ deathcustom : 作工程师，记下来，学会怎麽运用他，就好了 12/09 18:15
43F：→ deathcustom : 作学术的态度，你就不能把"任何一步"当作理所当然 12/09 18:16
44F：→ musicbox810 : Claim1前提就是x不等於a，为何还要讨论g(x)=g(a)? 12/11 11:34
因为 x≠a 和 g(x)=g(a) 可以同时成立呀
45F：推 ERT312 : 其实就是前篇我提到的Δu的第二种情况 12/11 14:34
46F：→ ERT312 : 发生这种情况，x在a的任一邻域都会踩到无限多点 12/11 14:35
47F：→ ERT312 : g(x)=g(a)，连锁律考虑一般情况就无法排除这种情况 12/11 14:36
48F：→ musicbox810 : 请问ERT大第二种状况是在主文里面的哪个地方？因为 12/11 14:54
49F：→ musicbox810 : 没标，所以不太清楚是指哪个段落的 12/11 14:54
50F：→ ERT312 : 前篇的"而否定上述情况的Δu即为" ..... 12/11 14:56
51F：→ musicbox810 : 回a大 (h(x)-h(a))=[f(g(x))-f(g(a))]/0 *0当g(x)= 12/11 14:56
52F：→ musicbox810 : g(a)，会发生0/0的问题 12/11 14:57
[h(x)-h(a)]/(x-a) 在 x≠a 和 g(x)=g(a) 同时成立下就是 0 呀，
分母 x-a 仍然因为 x≠a 所以不是 0 呀
53F：→ musicbox810 : 可以请a大乾脆把claim1的证明写出来吗？谢谢 12/11 14:59
<Proof of Claim1>
对於任意x≠a
(1) 如果 g(x) = g(a)
[h(x)-h(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = 0
u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) = 0
(2) 如果 g(x) ≠ g(a)
[h(x)-h(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/[g(x)-g(a)]*[g(x)-g(a)]/(x-a)
= [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
故 x≠a 之下， [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a)
54F：→ musicbox810 : 那我觉得跟我在最後一篇讲的证明是同样一件事，只是 12/11 15:09
55F：→ musicbox810 : 我在那篇写的f'(g(a))，a大直接用u(x)表示，是吧? 12/11 15:17
我不太懂你想表达什麽。我这边定义的 u(x)是个函数，f'(g(a))是个常数
u(x) 跟 f'(g(a)) 怎麽样都不同吧？
※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 12/11/2024 15:18:20
56F：→ musicbox810 : 但是a大再赋予u(a)值使u(x)为连续，以致於可以在乘 12/11 15:18
57F：→ musicbox810 : 积的极限化成个别极限的乘积时直接算出limu(x)x->a 12/11 15:19
58F：→ musicbox810 : 但是在那种g(x)=g(a)状况下，lim [h(x)-h(a)]/(x-a) 12/11 15:20
59F：→ musicbox810 : 反正也是0，u(a)是什麽就不重要了 12/11 15:20