作者oyasmy (oyasmy)
看板Math
標題[中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯
時間Wed Oct 23 17:04:24 2024
https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf
這個pdf的第4頁的問題
一般的數學歸納法應該是
已知n=1成立
假設n=k成立 若能證明n=k+1成立
就得證
可是這題的證法是
已知n=1,n=2成立
證明n-1的case成立
證明n-2的case成立
所以得證
我的問題有二點
1.為什麼需要已知n=2成立?
(而且n = 2 being easy to verify by hand.....?)
2.我猜它的邏輯是 因為n-1是n-2的特例
所以在n-2成立的前題下 n-1必成立 所以得證
(但是這樣子的話就沒有必要特別去證n-1成立)
請問這題的證明邏輯是什麼呢?
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1F：→ freePrester : 他的意思是，可以透過平移將其中一個或二個x刪除 10/23 17:13
2F：→ freePrester : 結論會一樣，所以整體的結論與只有1或2個 x 相同 10/23 17:14
3F：→ oyasmy : 感謝 都不知道數學歸納法還可以這樣用 10/23 17:53
4F：→ oyasmy : 而且而且n = 2 確實being easy to verify by hand 10/23 17:53
5F：→ freePrester : 其實這不是數歸… 10/23 18:05
6F：推 LPH66 : 是數歸啊, 刪掉一或兩個變數就化歸成數量較少的 10/23 18:58
7F：→ LPH66 : 這裡的邏輯應該這樣說: t 可能有這兩種狀況 10/23 18:58
8F：→ LPH66 : 狀況一時可化歸為 n-1 個, 狀況二時可化歸為 n-2 個 10/23 18:59
9F：→ LPH66 : 只要這兩個都成立那不管 t 是怎樣都能推得 n 個成立 10/23 18:59
10F：→ LPH66 : 那數歸邏輯用到少一跟少二, 所以基本狀況要證1和2 10/23 19:01
11F：→ LPH66 : 這就是為什麼要先證到 n=2 的原因 10/23 19:01
12F：→ oyasmy : n-1和n-2其實都沒有證明不等式的方向 只是證明了 10/23 20:38
13F：→ oyasmy : 不等式的方向沒有改變 然後induction這個字看起來 10/23 20:39
14F：→ oyasmy : 是數學歸納法 可是和一般的形式邏輯又不一樣 10/23 20:40
15F：推 PPguest : 看L大的推文,我猜這裡的數歸是這樣的形式： 10/23 23:28
16F：→ PPguest : 1. n=1, n=2 成立 10/23 23:29
17F：→ PPguest : 2. 若 n=1,2,...,k-1皆成立時可推得n=k成立 10/23 23:30
18F：→ PPguest : 則由數歸知對所有正整數都成立 10/23 23:31
19F：推 LPH66 : 對, 用到前兩項名義上是強數歸, 但強數歸跟一般只用 10/24 02:07
20F：→ LPH66 : 前一個的「一般」數歸其實只差一個名義而已 10/24 02:07
21F：→ LPH66 : 如果硬要套用到只用前一個的「一般」數歸上的話 10/24 02:09
22F：→ LPH66 : 技術上我們可以將「前 n 皆成立」另立成命題 10/24 02:10
23F：→ LPH66 : 經過一樣的邏輯證明「前 n+1 皆成立」命題成立 10/24 02:10
24F：→ LPH66 : 那對這個另立的命題而言用的數歸只有前一項 10/24 02:11
25F：→ LPH66 : 也就是雖然名義上仍然只是用「前一項推後一項」 10/24 02:11
26F：→ LPH66 : 但本質上我們其實是在用強數歸的「前X項推後一項」 10/24 02:12
27F：→ LPH66 : 回頭發覺我上面講的有點亂, 我想講的基本上是: 10/24 02:25
28F：→ LPH66 : 強數歸跟一般數歸的核心概念其實是一樣的 10/24 02:26
29F：→ LPH66 : 只用前一項跟用前面 X 項甚至全部 N 項只是形式差別 10/24 02:26
30F：推 ERT312 : 只要能從k的前幾個(包含k)推得k的下一個,都算是數學 10/24 12:28
31F：→ ERT312 : 歸納法 10/24 12:29
32F：推 ERT312 : 強數歸可看成一般數歸的變形 威力都一樣 10/24 12:36
33F：→ ERT312 : 有一個威力比較強的是從所有小於k的情況推出k成立 10/24 12:38
34F：→ ERT312 : 這個可以用來證明所有well ordered set 10/24 12:39
35F：→ ERT312 : 一般數歸只能用在自然數 10/24 12:40
36F：→ ERT312 : 所有的自然數都可看成有限集 所以數學歸納法又稱為 10/24 12:41
37F：→ ERT312 : 有限歸納法 對比後者稱為超限歸納法 10/24 12:42