作者oyasmy (oyasmy)
看板Math
标题[中学] 看不懂这题数学归纳法的逻辑
时间Wed Oct 23 17:04:24 2024
https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf
这个pdf的第4页的问题
一般的数学归纳法应该是
已知n=1成立
假设n=k成立 若能证明n=k+1成立
就得证
可是这题的证法是
已知n=1,n=2成立
证明n-1的case成立
证明n-2的case成立
所以得证
我的问题有二点
1.为什麽需要已知n=2成立?
(而且n = 2 being easy to verify by hand.....?)
2.我猜它的逻辑是 因为n-1是n-2的特例
所以在n-2成立的前题下 n-1必成立 所以得证
(但是这样子的话就没有必要特别去证n-1成立)
请问这题的证明逻辑是什麽呢?
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1F：→ freePrester : 他的意思是，可以透过平移将其中一个或二个x删除 10/23 17:13
2F：→ freePrester : 结论会一样，所以整体的结论与只有1或2个 x 相同 10/23 17:14
3F：→ oyasmy : 感谢 都不知道数学归纳法还可以这样用 10/23 17:53
4F：→ oyasmy : 而且而且n = 2 确实being easy to verify by hand 10/23 17:53
5F：→ freePrester : 其实这不是数归… 10/23 18:05
6F：推 LPH66 : 是数归啊, 删掉一或两个变数就化归成数量较少的 10/23 18:58
7F：→ LPH66 : 这里的逻辑应该这样说: t 可能有这两种状况 10/23 18:58
8F：→ LPH66 : 状况一时可化归为 n-1 个, 状况二时可化归为 n-2 个 10/23 18:59
9F：→ LPH66 : 只要这两个都成立那不管 t 是怎样都能推得 n 个成立 10/23 18:59
10F：→ LPH66 : 那数归逻辑用到少一跟少二, 所以基本状况要证1和2 10/23 19:01
11F：→ LPH66 : 这就是为什麽要先证到 n=2 的原因 10/23 19:01
12F：→ oyasmy : n-1和n-2其实都没有证明不等式的方向 只是证明了 10/23 20:38
13F：→ oyasmy : 不等式的方向没有改变 然後induction这个字看起来 10/23 20:39
14F：→ oyasmy : 是数学归纳法 可是和一般的形式逻辑又不一样 10/23 20:40
15F：推 PPguest : 看L大的推文,我猜这里的数归是这样的形式： 10/23 23:28
16F：→ PPguest : 1. n=1, n=2 成立 10/23 23:29
17F：→ PPguest : 2. 若 n=1,2,...,k-1皆成立时可推得n=k成立 10/23 23:30
18F：→ PPguest : 则由数归知对所有正整数都成立 10/23 23:31
19F：推 LPH66 : 对, 用到前两项名义上是强数归, 但强数归跟一般只用 10/24 02:07
20F：→ LPH66 : 前一个的「一般」数归其实只差一个名义而已 10/24 02:07
21F：→ LPH66 : 如果硬要套用到只用前一个的「一般」数归上的话 10/24 02:09
22F：→ LPH66 : 技术上我们可以将「前 n 皆成立」另立成命题 10/24 02:10
23F：→ LPH66 : 经过一样的逻辑证明「前 n+1 皆成立」命题成立 10/24 02:10
24F：→ LPH66 : 那对这个另立的命题而言用的数归只有前一项 10/24 02:11
25F：→ LPH66 : 也就是虽然名义上仍然只是用「前一项推後一项」 10/24 02:11
26F：→ LPH66 : 但本质上我们其实是在用强数归的「前X项推後一项」 10/24 02:12
27F：→ LPH66 : 回头发觉我上面讲的有点乱, 我想讲的基本上是: 10/24 02:25
28F：→ LPH66 : 强数归跟一般数归的核心概念其实是一样的 10/24 02:26
29F：→ LPH66 : 只用前一项跟用前面 X 项甚至全部 N 项只是形式差别 10/24 02:26
30F：推 ERT312 : 只要能从k的前几个(包含k)推得k的下一个,都算是数学 10/24 12:28
31F：→ ERT312 : 归纳法 10/24 12:29
32F：推 ERT312 : 强数归可看成一般数归的变形 威力都一样 10/24 12:36
33F：→ ERT312 : 有一个威力比较强的是从所有小於k的情况推出k成立 10/24 12:38
34F：→ ERT312 : 这个可以用来证明所有well ordered set 10/24 12:39
35F：→ ERT312 : 一般数归只能用在自然数 10/24 12:40
36F：→ ERT312 : 所有的自然数都可看成有限集 所以数学归纳法又称为 10/24 12:41
37F：→ ERT312 : 有限归纳法 对比後者称为超限归纳法 10/24 12:42