作者wallowes (Qoo)
看板Math
標題[工數] 波動方程式，正交性與週期不一致
時間Tue Oct 8 10:01:01 2024
如題，當兩端點的固定條件不同時，(0<x<L，L是繩子長度)
(Z(0)=0, Z'(L)=0或Z'(0)=0, Z(L)=0)
beta會等於 (2n-1)π/2L，
T = 4Ln/(2n-1)，
可是當最後面在算通解的An或Bn，利用正交特性時，
(因為通解代入初始條件後，只會剩下sin或cos函數，
所以視為傅立葉級數半幅展開，)
這時候利用正交特性的積分範圍是從-L~L，
我查了一下chatgpt是說這時候看回原始的物理條件即可，
怎麼解釋正交特性採用的積分範圍跟beta算出來的不一致?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.210.81 (臺灣)
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1F：推 topstr : 不能亂換定義域,x從0~L跟-L~L是不同題目,你要一致, 10/08 11:02
2F：→ topstr : 就要做平移跟尺度縮放等變數變換 10/08 11:03
可是是老師說是像是傅立葉半幅展開，
所以很像題目只給定一半週期:0<x<L，
然後自己去假定另外半邊的波形，
去把f(x)做成奇函數(如果是sin)、或是偶函數(如果是cos)，
最後寫出來會是2倍的0~L，
因為奇*奇=偶、偶*偶=偶。
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/08/2024 14:15:06
3F：推 topstr : 我去查書好了,以前學時,沒學過什麼全幅 半幅 10/08 17:23
4F：推 topstr : 我覺得sin跟cos都要吧,不然要怎麼滿足B.C.f(0)=f'(x 10/08 20:08
5F：→ topstr : f(0)=f'(L)=0 10/08 20:08
6F：推 arrenwu : 方便附上原本的題目敘述嗎？ 10/08 21:47
partial^2 u(x,t)/partial t^2 = c^2 * partial^2 u(x,t)/partial x^2
Boundary Condition: u(0,t)=0,u(L,t)=0
利用變數分離法就是Z(0)=0, Z(L)=0
總共有4種B.C.
Initial Condition: u(x,0)=f(x), partial u(x,0)/partial t=g(x)
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如果B.C是兩端固定條件相同，(Z(0)=0,Z(L)=0或Z'(0)=0,Z'(L)=0)
那beta = nπ/L，則T=2L，
這時候後面利用正交特性的話，積分-L~L就會跟T的範圍吻合，
題目解法就是:
變數分離法->T''(t)/(c^2*T(t))=Z''(x)/Z(x)=λ
先求Z(X)，conjugate imaginary roots一定有非零解，
所以令λ=-beta^2(beta>0)
找出非零解的beta->可求得λ，
將λ帶入T(t)式中，去求T(t)，
然後用superposition theorem，
把所有的Zn(x)*Tn(t)加起來就是u(x,t)，
這時候Initial condition u(x,0), partial u(x,0)/partial t，
代入會變成類似傅立葉級數的樣子。
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/08/2024 22:22:23
7F：→ wohtp : 砍一半還是正交啊，自己積分一下就可以證明了 10/08 23:38
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/09/2024 00:00:10
8F：推 topstr : 我說錯,sin (n+1/2)pi x/L是可以滿足f(0)=f'(L)=0的 10/09 01:19
我後來問chatgpt後，自己想通了，
因為代入Initial Condition後，(u(x,0)=f(x))
只剩x函數，而x函數代表的是空間的意思，
所以0<x<L，就是正交要使用的積分範圍。
而在空間下算出的4Ln/(2n-1)只是波長。
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/09/2024 19:58:53
9F：推 Vulpix : 好像終於知道你在說什麼了，你最後的理解是對的。 10/10 12:06
10F：→ Vulpix : 邊界上為0的解有些只有半個波、一個波半或好幾個波 10/10 12:06
11F：→ Vulpix : 半。這都只是正常現象，沒必要剛好是整數個波。 10/10 12:06