作者wallowes (Qoo)
看板Math
标题[工数] 波动方程式，正交性与周期不一致
时间Tue Oct 8 10:01:01 2024
如题，当两端点的固定条件不同时，(0<x<L，L是绳子长度)
(Z(0)=0, Z'(L)=0或Z'(0)=0, Z(L)=0)
beta会等於 (2n-1)π/2L，
T = 4Ln/(2n-1)，
可是当最後面在算通解的An或Bn，利用正交特性时，
(因为通解代入初始条件後，只会剩下sin或cos函数，
所以视为傅立叶级数半幅展开，)
这时候利用正交特性的积分范围是从-L~L，
我查了一下chatgpt是说这时候看回原始的物理条件即可，
怎麽解释正交特性采用的积分范围跟beta算出来的不一致?
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 203.204.210.81 (台湾)
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1F：推 topstr : 不能乱换定义域,x从0~L跟-L~L是不同题目,你要一致, 10/08 11:02
2F：→ topstr : 就要做平移跟尺度缩放等变数变换 10/08 11:03
可是是老师说是像是傅立叶半幅展开，
所以很像题目只给定一半周期:0<x<L，
然後自己去假定另外半边的波形，
去把f(x)做成奇函数(如果是sin)、或是偶函数(如果是cos)，
最後写出来会是2倍的0~L，
因为奇*奇=偶、偶*偶=偶。
※ 编辑: wallowes (203.204.210.81 台湾), 10/08/2024 14:15:06
3F：推 topstr : 我去查书好了,以前学时,没学过什麽全幅 半幅 10/08 17:23
4F：推 topstr : 我觉得sin跟cos都要吧,不然要怎麽满足B.C.f(0)=f'(x 10/08 20:08
5F：→ topstr : f(0)=f'(L)=0 10/08 20:08
6F：推 arrenwu : 方便附上原本的题目叙述吗？ 10/08 21:47
partial^2 u(x,t)/partial t^2 = c^2 * partial^2 u(x,t)/partial x^2
Boundary Condition: u(0,t)=0,u(L,t)=0
利用变数分离法就是Z(0)=0, Z(L)=0
总共有4种B.C.
Initial Condition: u(x,0)=f(x), partial u(x,0)/partial t=g(x)
==================================================================
如果B.C是两端固定条件相同，(Z(0)=0,Z(L)=0或Z'(0)=0,Z'(L)=0)
那beta = nπ/L，则T=2L，
这时候後面利用正交特性的话，积分-L~L就会跟T的范围吻合，
题目解法就是:
变数分离法->T''(t)/(c^2*T(t))=Z''(x)/Z(x)=λ
先求Z(X)，conjugate imaginary roots一定有非零解，
所以令λ=-beta^2(beta>0)
找出非零解的beta->可求得λ，
将λ带入T(t)式中，去求T(t)，
然後用superposition theorem，
把所有的Zn(x)*Tn(t)加起来就是u(x,t)，
这时候Initial condition u(x,0), partial u(x,0)/partial t，
代入会变成类似傅立叶级数的样子。
※ 编辑: wallowes (203.204.210.81 台湾), 10/08/2024 22:22:23
7F：→ wohtp : 砍一半还是正交啊，自己积分一下就可以证明了 10/08 23:38
※ 编辑: wallowes (203.204.210.81 台湾), 10/09/2024 00:00:10
8F：推 topstr : 我说错,sin (n+1/2)pi x/L是可以满足f(0)=f'(L)=0的 10/09 01:19
我後来问chatgpt後，自己想通了，
因为代入Initial Condition後，(u(x,0)=f(x))
只剩x函数，而x函数代表的是空间的意思，
所以0<x<L，就是正交要使用的积分范围。
而在空间下算出的4Ln/(2n-1)只是波长。
※ 编辑: wallowes (203.204.210.81 台湾), 10/09/2024 19:58:53
9F：推 Vulpix : 好像终於知道你在说什麽了，你最後的理解是对的。 10/10 12:06
10F：→ Vulpix : 边界上为0的解有些只有半个波、一个波半或好几个波 10/10 12:06
11F：→ Vulpix : 半。这都只是正常现象，没必要刚好是整数个波。 10/10 12:06