作者apwi (loves math)
看板Math
標題[微積] 反導函數是否為初等函數
時間Sun Oct 6 19:35:19 2024
請教各位同好
是否能判斷函數f的反導函數是否為初等函數。
同學做一個科展題目，寫出一個定積分，有利用ggb
或wolfram alpha幫忙計算出定積分的近似值，
但還是想知道是否可以找出反導函數來求出精準值。
嘗試了很多技巧還是積不出來，老師說，不是所有
函數的反導函數都能寫成初等函數，
所以想要請問，是否有方法可以判斷？
先謝謝各位。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.238.65.167 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1728214523.A.639.html
1F：→ apwi : 補充說明：利用wolfram也是找不出不定積分 10/06 19:36
2F：→ mantour : 不定積分能寫成反導函數也不是定積分有準確值的必 10/06 20:15
3F：→ mantour : 要條件10/06 20:15
希望定積分的值可以清楚呈現出原來的形式
例如：答案如果是根號2，希望呈現根號2，
而非1.414...這樣
※ 編輯: apwi (36.238.65.167 臺灣), 10/06/2024 21:23:45
4F：推 LPH66 : 高等數學是有這麼一個定理叫劉維爾定理10/06 22:00
6F：→ LPH66 : (主要是定理在講什麼你們也要花時間理解)10/06 22:02
7F：→ LPH66 : 那以科展範圍來看的話我覺得你們相信 Wolfram Alpha10/06 22:03
8F：→ LPH66 : 說不定是比較可行一點的結果10/06 22:03
9F：→ mantour : Risch Algorithm感覺是你想要的但是應該很難應用10/06 22:43
10F：→ mantour : 高斯函數的反導函數不能寫成初等函數但是高斯函數在10/06 22:44
11F：→ mantour : 負無窮大到無窮大的定積分可以算出是根號pi10/06 22:48
12F：→ mantour : [ 上一行高斯函數指的是 e^-(x^2) ]10/06 22:49
13F：推 topstr : 橢圓積分10/07 10:57
我了解以上各位大大的意思了
就算反導函數不存在初等函數的表示法，
或許還是有其他的技巧去一步步將定積分的值
求出來，如同e^{-x^2}一樣
那這一題我要思考的是
1.能否找出反導函數（目前看來不可行）
2.嘗試一些特殊技巧來處理這個定積分
謝謝大家的解答
學到很多
※ 編輯: apwi (163.27.3.71 臺灣), 10/07/2024 14:06:51
14F：→ mantour : 或是看有沒有機會整理成用某些特殊函數來表達 10/07 18:29
15F：→ topstr : 量子場論路徑積分算partition function除了高斯跟 10/08 11:05
16F：→ topstr : Columb potential(連發明人費曼都承認他沒算出來) 10/08 11:06
17F：→ topstr : 之外,都沒精確解,只能用微擾技巧一階一階慢慢算 10/08 11:08
18F：→ topstr : 整個實軸積分e^-f(x),f=x^2+x^3,沒精確解 10/08 11:11
19F：推 topstr : 更正,量子力學中partition function只有1.free case 10/08 11:36
20F：→ topstr : 高斯積分 2.高斯+harmonic oscillator 3.高斯+庫倫 10/08 11:38
21F：→ topstr : 勢 這三種有精確解,其他potential只能用微擾方法算 10/08 11:40
22F：推 topstr : 古典力學中擺角為任意角度 即非小角度 的單擺週期 10/08 12:10
23F：→ topstr : 即是第1類橢圓積分 10/08 12:10
24F：推 topstr : QFT的微擾法其實就是機率的moment generating fcn. 10/08 17:07
25F：→ topstr : 在指數上加了1項jx,對參數j微分去算積分,只是更複雜 10/08 17:09