作者apwi (loves math)
看板Math
标题[微积] 反导函数是否为初等函数
时间Sun Oct 6 19:35:19 2024
请教各位同好
是否能判断函数f的反导函数是否为初等函数。
同学做一个科展题目，写出一个定积分，有利用ggb
或wolfram alpha帮忙计算出定积分的近似值，
但还是想知道是否可以找出反导函数来求出精准值。
尝试了很多技巧还是积不出来，老师说，不是所有
函数的反导函数都能写成初等函数，
所以想要请问，是否有方法可以判断？
先谢谢各位。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.238.65.167 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1728214523.A.639.html
1F：→ apwi : 补充说明：利用wolfram也是找不出不定积分 10/06 19:36
2F：→ mantour : 不定积分能写成反导函数也不是定积分有准确值的必 10/06 20:15
3F：→ mantour : 要条件10/06 20:15
希望定积分的值可以清楚呈现出原来的形式
例如：答案如果是根号2，希望呈现根号2，
而非1.414...这样
※ 编辑: apwi (36.238.65.167 台湾), 10/06/2024 21:23:45
4F：推 LPH66 : 高等数学是有这麽一个定理叫刘维尔定理10/06 22:00
6F：→ LPH66 : (主要是定理在讲什麽你们也要花时间理解)10/06 22:02
7F：→ LPH66 : 那以科展范围来看的话我觉得你们相信 Wolfram Alpha10/06 22:03
8F：→ LPH66 : 说不定是比较可行一点的结果10/06 22:03
9F：→ mantour : Risch Algorithm感觉是你想要的但是应该很难应用10/06 22:43
10F：→ mantour : 高斯函数的反导函数不能写成初等函数但是高斯函数在10/06 22:44
11F：→ mantour : 负无穷大到无穷大的定积分可以算出是根号pi10/06 22:48
12F：→ mantour : [ 上一行高斯函数指的是 e^-(x^2) ]10/06 22:49
13F：推 topstr : 椭圆积分10/07 10:57
我了解以上各位大大的意思了
就算反导函数不存在初等函数的表示法，
或许还是有其他的技巧去一步步将定积分的值
求出来，如同e^{-x^2}一样
那这一题我要思考的是
1.能否找出反导函数（目前看来不可行）
2.尝试一些特殊技巧来处理这个定积分
谢谢大家的解答
学到很多
※ 编辑: apwi (163.27.3.71 台湾), 10/07/2024 14:06:51
14F：→ mantour : 或是看有没有机会整理成用某些特殊函数来表达 10/07 18:29
15F：→ topstr : 量子场论路径积分算partition function除了高斯跟 10/08 11:05
16F：→ topstr : Columb potential(连发明人费曼都承认他没算出来) 10/08 11:06
17F：→ topstr : 之外,都没精确解,只能用微扰技巧一阶一阶慢慢算 10/08 11:08
18F：→ topstr : 整个实轴积分e^-f(x),f=x^2+x^3,没精确解 10/08 11:11
19F：推 topstr : 更正,量子力学中partition function只有1.free case 10/08 11:36
20F：→ topstr : 高斯积分 2.高斯+harmonic oscillator 3.高斯+库伦 10/08 11:38
21F：→ topstr : 势 这三种有精确解,其他potential只能用微扰方法算 10/08 11:40
22F：推 topstr : 古典力学中摆角为任意角度 即非小角度 的单摆周期 10/08 12:10
23F：→ topstr : 即是第1类椭圆积分 10/08 12:10
24F：推 topstr : QFT的微扰法其实就是机率的moment generating fcn. 10/08 17:07
25F：→ topstr : 在指数上加了1项jx,对参数j微分去算积分,只是更复杂 10/08 17:09