作者cornerstone (cornerstone)
看板Math
標題[其他] Σsummation的算法
時間Sun Sep 8 11:40:15 2024
版上的大大們好，
想請教連續的summation要怎麼算呢？
我用手寫了兩個版本，
第一個是展開的時候，
因為j = i，所以我就直接帶進去(j - i + 1)，
可是這樣算到後面變成n^4
https://imgur.com/1Myr3J1
第二個版本是一個一個展開，
但這樣算到後面只有n^2
https://imgur.com/5equlx7
但解答是n^3
所以我想請教這樣問題該怎麼算呢？
我的盲點和錯誤在哪？
謝謝各位！
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1F：→ Ricestone : 有j的怎麼會拆開來跟沒j的長差不多 j是在跑的變數耶 09/08 11:50
2F：→ Ricestone : j在跑的話，Σi = iΣ , 但Σj ≠ jΣ 09/08 11:54
3F：→ Ricestone : 仔細一看你第一張也怪怪的，你是以為Σ這個符號本身 09/08 11:55
4F：→ Ricestone : 是獨立的東西？ 是的話那你完全弄錯它意義跟算法了 09/08 11:56
5F：→ Ricestone : 先考慮簡單一點的狀況，[i=1→n]Σi這狀況不會變成 09/08 11:58
6F：→ Ricestone : iΣ = in 09/08 11:59
7F：→ Ricestone : 而是變成n(n+1)/2 後面的東西很重要 09/08 12:00
8F：→ Ricestone : 你要算θ的話要看後面東西在跑的變數是幾次方，Σ後 09/08 12:04
9F：→ Ricestone : 就會多一次，所以第一張應該是3次，第二張也是3次 09/08 12:04
10F：→ cornerstone : 真的很謝謝您的解釋！我有點不太清楚[j=i→n]Σi和 09/08 13:10
11F：→ cornerstone : [j=i→n]Σj的不同？我理解有三個迴圈所以應該是n^3 09/08 13:12
12F：→ cornerstone : 但數學運算的部分，好像還想不太通... 09/08 13:13
13F：→ Ricestone : 以你提的這兩個狀況來說，前者迴圈裡i沒有在跑，對 09/08 13:19
14F：→ Ricestone : 吧？所以前者是i+i+i+...+i，總共有(n-i+1)項，所以 09/08 13:20
15F：→ Ricestone : 是(n-i+1)i，另外也可從Σi=iΣ，這兩者相等 09/08 13:21
16F：→ Ricestone : iΣ的意思不是Σ後面什麼都沒有，後面是1 09/08 13:22
17F：→ Ricestone : 再來後者的情況，j有在跑，所以是i+(i+1)+(i+2)+... 09/08 13:23
18F：→ Ricestone : +(n)，然後再使用等差級數公式 09/08 13:24
19F：→ Ricestone : 另外也可由i→n意思就是1→n扣掉1→(i-1)來理解 09/08 13:25
20F：→ Ricestone : 當然由於這些都只是0次跟1次，所以只要用到等差級數 09/08 13:30
21F：→ Ricestone : 但如果後面在跑的東西變成二次以上，精算的狀況就要 09/08 13:30
22F：→ Ricestone : 用到連續平方和之類的公式了，但只是算θ的話就記得 09/08 13:32
23F：→ Ricestone : 只是多一次就好 09/08 13:32
24F：→ Ricestone : 另外有件事情記得一下會比較方便，那就是sum裡面在 09/08 13:41
25F：→ Ricestone : 跑的那個變數算出來之後應該要不見（沒那個變數名） 09/08 13:42
26F：→ cornerstone : 真的非常謝謝您詳細的解說！學到很多，謝謝！ 09/09 13:48