作者saltlake (SaltLake)
看板Math
標題[機統] 交集事件的機率
時間Sun Sep 8 05:45:01 2024
定義聯集(union)符號為 U(); 交集(intersection)符號為 iU()
倘諸事件彼此統計獨立，則
P(iU( Ai, i = 1 to 2 )) = P(A1)*P(A2)
= Pi( P(Ai), i = 1 to 2 )
上面這表達式很容易擴展到任意多事件。
但是如果諸事件並非彼此統計獨立呢?
iU( Ai, i = 1 to 2 ) = A1 + A2 - U( Ai, i = 1 to 2 )
則其機率為:
P(iU( Ai, i = 1 to 2 )) = P(A1) + P(A2)
- P(U( Ai, i = 1 to 2 ))
上面的表達式如何擴展到任意多事件?
另外，統計獨立的事件之交集的機率，與非統計獨立者之機率，
它們之間存有甚麼關係?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.216.142 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1725745503.A.6F9.html
1F：→ LPH66 : 有個東西叫做排容原理 09/08 06:49
排容原理給出了多事件時的表達式，但是交集機率在彼此統計獨立和非獨立
之間的機率大小之關係呢?
2F：推 arrenwu : 看起來 你應該先考慮從入門機率課程開始學習？ 09/08 07:16
從條件機率出發的話，
P(B|A) = P( iU( A, B ) )/P(A)
亦即
P( iU( A, B ) ) = P(A)*P(B|A)
∵P(B|A) <= P(B)
∴P(A)*P(B|A) <= P(A)*P(B)
從而得到
P( iU( A, B ) ) = P(A)*P(B|A) <= P(A)*P(B)
但是上述證明要如何擴展到多事件的狀況?
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/08/2024 12:40:20
3F：噓 chang1248w : 啊你不是問過 09/08 23:23
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/08/2024 23:35:02
4F：→ Ricestone : 「∵P(B|A) <= P(B)」我沒看錯的話，你是認為這條 09/08 23:38
5F：→ Ricestone : 式子是總是對的？ 09/08 23:39
這確實是上面證明的弱點 -_-
「概念上」，有附加條件時候的機率應該不大於沒有條件的?
這點不知怎麼嚴格證明或證誤 -_-
6F：→ Ricestone : 我的意見跟很前面的時候一樣，你不如直接講你這些 09/08 23:41
7F：→ Ricestone : 問題的最終目的想要做什麼，不然不知道怎麼幫你 09/08 23:41
8F：→ Ricestone : 你目前看起來就只是覺得任何東西都有個形式上的漂亮 09/08 23:42
9F：→ Ricestone : 形式而已 09/08 23:42
本問題最基本的目的就是要找出:
多事件交集的機率，當個事件彼此非統計獨立和統計獨立時的兩個機率間的關係。
目前看來，統計獨立時候的機率不小於非統計獨立時後的。
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/09/2024 00:48:21
10F：→ Ricestone : 沒什麼好只談概念的，條件機率意思跟算法都很明確 09/09 00:50
11F：→ Ricestone : 例如，一個正常骰子骰到偶數的機率是1/2，但給個條 09/09 00:51
12F：→ Ricestone : 件例如在骰到偶數的情況下，骰到偶數的機率就是1 09/09 00:52
13F：→ Ricestone : 簡單來說你所想的東西根本沒什麼關係，不知道你想 09/09 00:53
14F：→ Ricestone : 要什麼樣的結果 09/09 00:53
15F：→ Ricestone : 獨立就只是剛好（或者說我們希望有這樣性質）有沒有 09/09 01:00
16F：→ Ricestone : 這個條件的機率都一樣，而不獨立就是可能大可能小 09/09 01:01
17F：→ Ricestone : 「統計獨立時候的機率不小於非統計獨立時」這句話 09/09 01:02
18F：→ Ricestone : 也蠻奇怪的，你沒辦法說今天有對獨立的事件，下一秒 09/09 01:02
19F：→ Ricestone : 就讓它們變非統計獨立啊，已經是完全不同東西的機率 09/09 01:03
一般事件的交集之機率
P( iU(A,B) ) = P(A) + P(B) - P( U(A,B) )
要做複雜的計算，尤其當事件數目大的時候。
如果能夠有近似公式或者(最小)上界，估計交集事件的機率的複雜度可以簡化。
提到交集事件的機率，最有名的一個特狀況就是事件彼此獨立的時候。這時候交
集事件的機率就是個別事件的連乘積。
從而自然想要尋找一般事件交集的機率和獨立事件交集的機率之間的關係。
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/09/2024 01:25:16
20F：→ Ricestone : 所以你想算什麼東西的聯集事件機率？ 從定義可以 09/09 02:05
21F：→ Ricestone : 可以知道所謂的獨立是非常好用的東西，甚至於說如果 09/09 02:06
22F：→ Ricestone : 沒有獨立性質，有很多東西我們根本無從算起 09/09 02:06
23F：→ Ricestone : 甚至你可以想像成我們會想要去說這些事件近乎獨立 09/09 02:07
24F：→ Ricestone : 而直接把獨立的結果當作近似值 09/09 02:08
25F：→ Ricestone : 你現在有理解條件機率想多大可以多大，想多小可以 09/09 02:09
26F：→ Ricestone : 多小了嗎？ 09/09 02:09
27F：→ Ricestone : 話說我其實看不懂你的符號 怎麼好像交集聯集都混 09/09 02:19
28F：→ Ricestone : 在一起了 09/09 02:19
29F：→ Ricestone : 首先獨立時各機率相乘是等於交集的機率 09/09 02:23
感謝糾錯 :)
發現當初貼本文問問題的時候把交集和聯集錯誤地對調了。
現在把上面內容原本提到的聯集改成交集。
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/09/2024 09:20:04
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/09/2024 09:20:21
既然不能證明獨立事件交集的機率不小於一般事件交集的，有否反例?
或者上述條件機率關係「P(B|A) <= P(B)」之反例?
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/09/2024 16:52:51
30F：→ Ricestone : 我不是舉了例子嗎？ 09/09 16:59
31F：→ Ricestone : 講成符號就是A跟B是同一個事件的時候條件機率就是1 09/09 17:03
上面的例子顯示:
P(B|A) = 1 >= P(B) 所以是「P(B|A) <= P(B)」反例
但是，獨立事件交集的機率與一般事件交集的機率方面的反例呢?
當然，以 P( iU( A, B) ) = P(A)*P(B|A) 為基礎，倘若舉出
P(B|A) 和 P(B) 之間可以是大於小於等於的狀況，可以進而指出
獨立事件和一般事件也是可以三者任一。但是上面的表達式僅限於
兩個事件的情況而不能代表更多事件的情況。
※ 編輯: saltlake (114.36.216.142 臺灣), 09/09/2024 19:51:37
32F：→ Ricestone : 你兩個都沒做到了，想要做三個以上是嗎？ 09/09 20:01
33F：→ Ricestone : 其實你一樣可以全部都用同一個事件，因為同一個事件 09/09 20:03
34F：→ Ricestone : 自己跟自己就不是獨立的 09/09 20:03
35F：→ Ricestone : 然後再說一次「獨立事件交集跟一般事件交集」這句話 09/09 20:22
36F：→ Ricestone : 是很奇怪的，你跟以前一樣應該是少講了很多你心裡已 09/09 20:22
37F：→ Ricestone : 經設下的條件 09/09 20:22
38F：→ Ricestone : 要我猜的話，可能你想表達今天只有P(A),P(B),P(C)這 09/09 20:23
39F：→ Ricestone : 個數值是定下來的，而沒有想A,B,C到底是什麼東西 09/09 20:24
40F：→ Ricestone : 0=一般最小機率<=獨立機率<=一般最大機率=min(P()) 09/09 20:31
41F：→ Ricestone : 如果你就只要式子的話就是這樣，理由都是一樣的 09/09 20:33
42F：→ recorriendo : 聯集就是Boole inequality 交集沒有一定成立的不 09/10 18:50
43F：→ recorriendo : 等關係 09/10 18:50
44F：→ recorriendo : P(B|A)>P(B)反例隨便舉都有...不知到底在嚾啥= = 09/10 18:56
45F：推 recorriendo : B=骰子擲出奇數點 A=骰子擲出3以下點數 09/10 19:04