作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题[机统] 交集事件的机率
时间Sun Sep 8 05:45:01 2024
定义联集(union)符号为 U(); 交集(intersection)符号为 iU()
倘诸事件彼此统计独立，则
P(iU( Ai, i = 1 to 2 )) = P(A1)*P(A2)
= Pi( P(Ai), i = 1 to 2 )
上面这表达式很容易扩展到任意多事件。
但是如果诸事件并非彼此统计独立呢?
iU( Ai, i = 1 to 2 ) = A1 + A2 - U( Ai, i = 1 to 2 )
则其机率为:
P(iU( Ai, i = 1 to 2 )) = P(A1) + P(A2)
- P(U( Ai, i = 1 to 2 ))
上面的表达式如何扩展到任意多事件?
另外，统计独立的事件之交集的机率，与非统计独立者之机率，
它们之间存有甚麽关系?
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1F：→ LPH66 : 有个东西叫做排容原理 09/08 06:49
排容原理给出了多事件时的表达式，但是交集机率在彼此统计独立和非独立
之间的机率大小之关系呢?
2F：推 arrenwu : 看起来 你应该先考虑从入门机率课程开始学习？ 09/08 07:16
从条件机率出发的话，
P(B|A) = P( iU( A, B ) )/P(A)
亦即
P( iU( A, B ) ) = P(A)*P(B|A)
∵P(B|A) <= P(B)
∴P(A)*P(B|A) <= P(A)*P(B)
从而得到
P( iU( A, B ) ) = P(A)*P(B|A) <= P(A)*P(B)
但是上述证明要如何扩展到多事件的状况?
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/08/2024 12:40:20
3F：嘘 chang1248w : 啊你不是问过 09/08 23:23
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/08/2024 23:35:02
4F：→ Ricestone : 「∵P(B|A) <= P(B)」我没看错的话，你是认为这条 09/08 23:38
5F：→ Ricestone : 式子是总是对的？ 09/08 23:39
这确实是上面证明的弱点 -_-
「概念上」，有附加条件时候的机率应该不大於没有条件的?
这点不知怎麽严格证明或证误 -_-
6F：→ Ricestone : 我的意见跟很前面的时候一样，你不如直接讲你这些 09/08 23:41
7F：→ Ricestone : 问题的最终目的想要做什麽，不然不知道怎麽帮你 09/08 23:41
8F：→ Ricestone : 你目前看起来就只是觉得任何东西都有个形式上的漂亮 09/08 23:42
9F：→ Ricestone : 形式而已 09/08 23:42
本问题最基本的目的就是要找出:
多事件交集的机率，当个事件彼此非统计独立和统计独立时的两个机率间的关系。
目前看来，统计独立时候的机率不小於非统计独立时後的。
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/09/2024 00:48:21
10F：→ Ricestone : 没什麽好只谈概念的，条件机率意思跟算法都很明确 09/09 00:50
11F：→ Ricestone : 例如，一个正常骰子骰到偶数的机率是1/2，但给个条 09/09 00:51
12F：→ Ricestone : 件例如在骰到偶数的情况下，骰到偶数的机率就是1 09/09 00:52
13F：→ Ricestone : 简单来说你所想的东西根本没什麽关系，不知道你想 09/09 00:53
14F：→ Ricestone : 要什麽样的结果 09/09 00:53
15F：→ Ricestone : 独立就只是刚好（或者说我们希望有这样性质）有没有 09/09 01:00
16F：→ Ricestone : 这个条件的机率都一样，而不独立就是可能大可能小 09/09 01:01
17F：→ Ricestone : 「统计独立时候的机率不小於非统计独立时」这句话 09/09 01:02
18F：→ Ricestone : 也蛮奇怪的，你没办法说今天有对独立的事件，下一秒 09/09 01:02
19F：→ Ricestone : 就让它们变非统计独立啊，已经是完全不同东西的机率 09/09 01:03
一般事件的交集之机率
P( iU(A,B) ) = P(A) + P(B) - P( U(A,B) )
要做复杂的计算，尤其当事件数目大的时候。
如果能够有近似公式或者(最小)上界，估计交集事件的机率的复杂度可以简化。
提到交集事件的机率，最有名的一个特状况就是事件彼此独立的时候。这时候交
集事件的机率就是个别事件的连乘积。
从而自然想要寻找一般事件交集的机率和独立事件交集的机率之间的关系。
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/09/2024 01:25:16
20F：→ Ricestone : 所以你想算什麽东西的联集事件机率？ 从定义可以 09/09 02:05
21F：→ Ricestone : 可以知道所谓的独立是非常好用的东西，甚至於说如果 09/09 02:06
22F：→ Ricestone : 没有独立性质，有很多东西我们根本无从算起 09/09 02:06
23F：→ Ricestone : 甚至你可以想像成我们会想要去说这些事件近乎独立 09/09 02:07
24F：→ Ricestone : 而直接把独立的结果当作近似值 09/09 02:08
25F：→ Ricestone : 你现在有理解条件机率想多大可以多大，想多小可以 09/09 02:09
26F：→ Ricestone : 多小了吗？ 09/09 02:09
27F：→ Ricestone : 话说我其实看不懂你的符号 怎麽好像交集联集都混 09/09 02:19
28F：→ Ricestone : 在一起了 09/09 02:19
29F：→ Ricestone : 首先独立时各机率相乘是等於交集的机率 09/09 02:23
感谢纠错 :)
发现当初贴本文问问题的时候把交集和联集错误地对调了。
现在把上面内容原本提到的联集改成交集。
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/09/2024 09:20:04
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/09/2024 09:20:21
既然不能证明独立事件交集的机率不小於一般事件交集的，有否反例?
或者上述条件机率关系「P(B|A) <= P(B)」之反例?
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/09/2024 16:52:51
30F：→ Ricestone : 我不是举了例子吗？ 09/09 16:59
31F：→ Ricestone : 讲成符号就是A跟B是同一个事件的时候条件机率就是1 09/09 17:03
上面的例子显示:
P(B|A) = 1 >= P(B) 所以是「P(B|A) <= P(B)」反例
但是，独立事件交集的机率与一般事件交集的机率方面的反例呢?
当然，以 P( iU( A, B) ) = P(A)*P(B|A) 为基础，倘若举出
P(B|A) 和 P(B) 之间可以是大於小於等於的状况，可以进而指出
独立事件和一般事件也是可以三者任一。但是上面的表达式仅限於
两个事件的情况而不能代表更多事件的情况。
※ 编辑: saltlake (114.36.216.142 台湾), 09/09/2024 19:51:37
32F：→ Ricestone : 你两个都没做到了，想要做三个以上是吗？ 09/09 20:01
33F：→ Ricestone : 其实你一样可以全部都用同一个事件，因为同一个事件 09/09 20:03
34F：→ Ricestone : 自己跟自己就不是独立的 09/09 20:03
35F：→ Ricestone : 然後再说一次「独立事件交集跟一般事件交集」这句话 09/09 20:22
36F：→ Ricestone : 是很奇怪的，你跟以前一样应该是少讲了很多你心里已 09/09 20:22
37F：→ Ricestone : 经设下的条件 09/09 20:22
38F：→ Ricestone : 要我猜的话，可能你想表达今天只有P(A),P(B),P(C)这 09/09 20:23
39F：→ Ricestone : 个数值是定下来的，而没有想A,B,C到底是什麽东西 09/09 20:24
40F：→ Ricestone : 0=一般最小机率<=独立机率<=一般最大机率=min(P()) 09/09 20:31
41F：→ Ricestone : 如果你就只要式子的话就是这样，理由都是一样的 09/09 20:33
42F：→ recorriendo : 联集就是Boole inequality 交集没有一定成立的不 09/10 18:50
43F：→ recorriendo : 等关系 09/10 18:50
44F：→ recorriendo : P(B|A)>P(B)反例随便举都有...不知到底在嚾啥= = 09/10 18:56
45F：推 recorriendo : B=骰子掷出奇数点 A=骰子掷出3以下点数 09/10 19:04