作者cuteSquirrel (可愛的小松鼠)
看板Math
標題Re: [中學] 代數問題
時間Tue Aug 20 16:55:13 2024
※ 引述《knuk (金鋒)》之銘言：
: 還沒想到方法，請益各位
: a,b為正數，若函數f(x)=(ax+b)/(x^2+1)的值域為［-1,5］，則ab=?
令 y = (ax + b ) / (x^2 + 1) 且 y 的範圍落在 [-1, 5]
ax + b = y x^2 + y
y x^2 - ax + (y-b) = 0
由題目知道f(x) 的 x 有解
判別式 >= 0
判別式 = a^2 - 4y(y-b) >= 0
整理 變號 之後
4 y^2 - 4by - a^2 <= 0
y 的範圍落在 [-1, 5] 不等式的y解在 -1, 5
由根與係數
兩根之和 = -1 + 5 = - (-4b) / 4 = 4b / 4 = b = 4
兩根之積 = -1 * 5 = - a^2 / 4 => a^2 = 20 => a = 正負√20
題目給的條件是 a > 0, b > 0
a = √20 = √4 * √5 = 2 √5
b = 4
ab = 2√5 * 4 = 8√5
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2F：→ cuteSquirrel: 圖形幫助理解 (幾何觀點) 08/20 17:02
3F：→ cuteSquirrel: 求直線方程，而且直線 y=ax+b 不可以超過另外兩條 08/20 17:03
4F：→ cuteSquirrel: 二次曲線 08/20 17:03
※ 編輯: cuteSquirrel (114.37.203.44 臺灣), 08/20/2024 17:04:54
5F：推 knuk : 感謝 08/20 17:35
6F：→ cuteSquirrel: : ) 08/20 17:37
8F：→ knuk : 剛剛自己重算一次...順利，大感謝 08/20 17:43
9F：→ cuteSquirrel: 讚 08/20 17:52
10F：→ musicbox810 : 請問另外兩條二次曲線是怎麼來的? 08/20 19:15
11F：→ cuteSquirrel: 分母，另外題目說y的值域在[-1, 5] 08/20 19:16
12F：→ cuteSquirrel: 移項過去就可以了 08/20 19:16
13F：→ musicbox810 : 謝謝c大懂了 08/20 19:39
14F：→ cuteSquirrel: : ) 08/20 20:44